点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE． 例4 16．（2012?资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质． 分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC= 2BE，即可求得HD：GC：EB的值； （2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值； （3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值． 解答：解：（1）连接AG， ∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上， ∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH， ∴HD=BE， ∵AG=AEAB=2AE，AC==2AB， sin45sin45∴GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE）=2BE， ∴HD：GC：EB=1：2：1。 （2）连接AG、AC， ∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形， ∴AD：AC=AH：AG=1：2，∠DAC=∠HAG=45°， ∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=1：2， ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ?AD?AB?在△DAH和△BAE中，??DAH??BAE， ?AH?AE?∴△DAH≌△BAE（SAS）， ∴HD=EB， ∴HD：GC：EB=1：2：1； （3）有变化， 连接AG、AC， ∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC=AH：AG=m：m2?n2，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=m：m2?n2， ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：BE=AD：AB=m：n， ∴HD：GC：EB=m：m2?n2：n． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 对应训练
3. （2012?攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理． 分析：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据全等三角形的性质，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，继而可得∠1=∠2，则可判定①②正确；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，则可得AB：AC=AD：AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可判定③正确；易证得△AEF∽△DCF与△AOF∽△CEF，继而可得∠OAC+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四点在同一个圆上． 解答：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正确； ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠1=∠2，故①正确； ∵△ABC≌△ADE， ∴AB=AD，AC=AE， ∴ABAD?， ACAE∵∠1=∠2，
∴△ABD∽△ACE，故③正确； ∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OFC， ∴△AFE∽△OFC， AFEF?，∠2=∠FOC， OACFAFOF?即， EFCF∴∵∠AFO=∠EFC， ∴△AFO∽△EFC， ∴∠FAO=∠FEC， ∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°， ∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确． 故选D． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键． 4. （2012?义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 专题：几何综合题．
分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段
AB上时，EP1最小，②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值． 解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分） ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴BABA1，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ?BCBC1∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴S△ABA1S△CBC1?(AB2416)?()2?， BC525∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=25； 4 （3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=52， 2当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB