八．椭圆的压缩变换
1.常见结论：
2.典型题选讲：
1.（1）圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；
（2）圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线．类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）．
（3）椭圆
yxy??1(a?b?0)上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上 a2b222B y oA xC 的任一点（除这两点外）连线斜率之积为
x2y2（4）A,B是椭圆2?2?1(a?b?0)上两个不同点，O为坐标原点，则?AOB面积的
ab最大值为______.
x2y2（5）A,B是椭圆2?2?1(a?b?0)上左右顶点，P是椭圆上异于A,B的点，PM?xab2轴于M.求证：bPM2?a2AM?MB.
2.椭圆有两顶点A(?1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点，并与x 轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． （I）当CD?32时，求直线l的方程； 2（II）当点P异于A,B两点时，求证：OP?OQ 为定值。
【变式】①已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；
3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直
线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
2y2x 0)，离心率②如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1，ab为2．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），y 2C OE?EF．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．
O 且A E F D x B （变式题）
x2y2③如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1,F2分别是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、
ab右焦点，
A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF2?5BF2?0. （1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D?1,0?为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数?，使得k1??k2?0恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由。
1x2y23.作斜率为的直线l与椭圆C：??1交于A,B两点（如图所示），且
3364y P O A x B P(32,2)在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；
x2y23
【变式】①在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个
ab2
顶点分别为
A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点
为G．
（1）求实数a，b的值；
y （2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得
△P1MN和△P2MN的面积为S，求S的取值范围； （3）求证：点G在一条定直线上．
A1NDMA2xG(第①题图) x2?y2?1有两个②在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2不同的交点P 和Q． （I）求k的取值范围；
（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量
OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
x2?y2?1上两点，且AB?3，求?AOB面积的最大值. 4.如图所示，A,B是椭圆C:3
x2y2【变式】①过点M(?m,0)(0?m?a)作直线与椭圆2?2?1(a?b?0)交于A,B，求
ab?AOB面积的最大值.
0)B(01)，是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与AB相② 设椭圆中心在坐标原点，A(2，，交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若ED?6DF，求k的值； （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
y B O E F D A x x2y2③平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:2?2?1(a?b?0)右焦点的直线
ab1x?y?3?0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为。
2（Ⅰ）求M的方程；
（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD?AB，求四边形ACBD面积的最大值。
x2y2??1交于P?x1,y1?,Q?x2,y2?两不同点，且?OPQ的面5.已知动直线l与椭圆C：32积S?OPQ?6，其中O为坐标原点． 2（Ⅰ）证明：x12?x22和y12?y22均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OM?PQ的最大值；