江苏省启东中学2017届高三第一次调研测试
理科数学答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．1.答案：－1
2. 答案：?x?R,x2?0 3. 答案：m?8
14. 答案：(2,??)?(0,)
25.答案：y?sin(2x?6.答案：a?5 7. 答案：?2?a?0 2?3)也可y?cos(2x?).
6?38.答案：
59.答案：
24 25→10.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设CD=x，则AB →→→→→2=（3，0），AC =（x，2）由AB·AC = 3解得x=1．所以AE=（2，），BC =
2→→（-2，2），所以AE·BC =??
11.因为函数f(x)在定义域[2?a,3]上是偶函数，所以2?a?3?0，所以a?5.所以
af(?m2?)?f(?m2?2m?2)，即f(?m2?1)?f(?m2?2m?2)，所以函数f(x)在
5[?3,0]上单调递减，而?m2?1?0,?m2?2m?2??(m?1)2?1?0，所以由
??3??m2?1?01?f(?m2?1)?f(?m2?2m?2)得，??3??m2?2m?2?0，解得1?2?m?
2??m2?1??m2?2m?2?12.0?a?1或a?0.
13.对曲线y?alnx求导可得y??所以P?s,t?处具有公共切线，
a1x，对曲线y?x2求导可得y??，因为它们在公共点x2ee1，又t?anls?s2e2as
a即s2?e?，
se
ansl，即2e?s2a，将s2?e代入，所以a?1.所以t?te1，s?e，即? . 2s2e14.解析：设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax11
－a的下方．因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x＜－时，g′(x)＜0，当x＞－时，g′(x)＞0，
2211
所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e－，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝3e＞0，直线y＝ax－
223－
a恒过(1，0)，且斜率为a，故－a＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e1≥－a－a，解得≤a＜1.
2e
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．
1??15.(1)M??m|??m?2?.................................................................................5分
4??19 (2)分a?1………7分. 当a?1时得a??????..9分.当a?1得a??..11分
44 综上所述:a?91或a?????????????..14分. 4431?sinA?cosA?2cosA，即sinA?3cosA，因为16.解：.因为sin(A?)?2cosA，得226?A??0,??，且cosA?0，所以tanA?3，所以A?. …………4分
3（1）因为sin2C?cos2C?1，cosC?63，C??0,??，所以sinC? 333asinA3ac?2?，即2a?3c?0.…………7分 由正弦定理知，即??csinCsinAsinC323?????（2）因为B?(0,)，所以A?B??B??0,?，
33?3?因为sin2(A?B)?cos2(A?B)?1，所以sin(A?B)?3， …………10分 543?3.……14分 10所以sinB?sin?A??A?B???sinAcos(A?B)?cosAsin(A?B)?x1??1?2?1?2?1112??，f(?1)?17. 1）f(x)?x?1，∴f(1)?2?，
2?15 2?124∵f(?1)??f(1)，∴f(x)不是奇函数????????????4分 （2）∵f(x)是奇函数时，f(?x)??f(x)，
?2?x?m?2x?m?x?1即?x?1对定义域内任意实数x成立，
2?n2?n化简整理得关于x的恒等式(2m?n)?22x?(2mn?4)?2x?(2m?n)?0， ∴??2m?n?0?m??1?m?1，即?或?????????????8分
?2mn?4?0?n??2?n?2（注：少一解扣1分）
?2x?112?(?1?x)，易判断f(x)在R上（3）由题意得m?1,n?2，∴f(x)?x?12?222?1递减，∵f(f(x))?f()?0，∴f(f(x))??f()?f(?)，∴f(x)??1414141，∴2x?3，4∴x?log23，即所求不等式的解集为(??,log23)?????????..14分
9→→9
18.解：(1) ∵ CB·CA＝，∴ abcosC＝，∴ ab＝15…………………..3分
22
3
∴ c2＝a2＋b2－2abcosC≥2ab－2ab·＝21(当且仅当a＝b时取等号)．
10
∵ c＞0，∴ c≥21，…………………………………………………………..5分 ∴ c的最小值为21…………………………………………………….7分 B
1－2sin2?＋3cos2B＝0， (2) ∵ x∥y，∴ 2sin B?2??2sinBcosB＋3cos2B＝0，即sin 2B＋3cos2B＝0，
2π5ππ5π
∴ tan2B＝－3，∴ 2B＝或，∴ B＝或……………………10分
3336π33
∵ cos C＝＜，∴ C＞，
1026
5ππ
∴ B＝(舍去)，∴ B＝……………………………………………..12分
63∴ sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)] πππ
＝sin?C－?＝sinCcos－cos Csin
333??＝
91－3391133
×－×＝…………………………………………..16分 10210220
19．连接BP, 过P作PP1?BC垂足为P1 , 过Q作QQ1?BC垂足为Q1
??2π?? 设?PBP0???2π， MP1??33?? …………………2分
若0????，在Rt?PBP1中，PP1?sin?，BP1?cos? 2若???,则PP1?sin?，BP1?cos? 2若????2?，则PP1?sin?,BP1?cos(???)??cos?, 23A
P D Q M
?PQ?2?cos??3sin? …………………………4分
3在Rt?QBQ1中，QQ1?PPCQ1?3sin?，CQ?23sin? 1?sin?，33B
N
（第19题）
C
DQ?2?23sin? …………………………6分
3所以总路径长
f(?)?2????4?cos??3sin?(0???2?)， ……………………10分
33f'(?)?sin??3cos??1?2sin(???)?1 ………………12分
3令f'????0，??
π 2
当0???π 时，f'????0
2当π???2π 时，f'????0 …………………………14分 23所以当??
π
时，总路径最短. 2
答：当BP?BC时，总路径最短. ……16分 20.解：（1）由y?f?x??g?x??1x2?alnx，得y??x?a，
2x由题意，1?a?3，所以a??2． ????????????3分 （2）h?x??f?x??g?x??1x2?alnx， 2因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有
h?x1??h?x2??2，
x1?x2设x1?x2，则h?x1??h?x2??2?x1?x2?，即h?x1??2x1?h?x2??2x2恒成立，
问题等价于函数F?x??h?x??2x，即F?x??1x2?alnx?2x在?0,???为增函数．?6分
2所以F??x??x?a?2≥0在?0,???上恒成立，即a≥2x?x2在?0,???上恒成立，
x所以a≥?2x?x2?max?1，即实数a的取值范围是?1,???．???????????8分 （3）不等式f??x0??1?gx?g?x等价于x?1?alnx?a，
?0??0?00x0x0f??x0?整理得x0?alnx0?1?a?0．
x0设m?x??x?alnx?1?a，由题意知，在?1,e?上存在一点x0，使得m?x0??0．???10分
xx2?ax?(1?a)(x?1?a)(x?1)a1?a由m??x??1??2?． ?xxx2x2因为x?0，所以x?1?0，即令m??x??0，得x?1?a． ① 当1?a≤1，即a≤0时，m?x?在?1,e?上单调递增，
只需m?1??2?a?0，解得a??2． ??????????????????12分 ② 当1?1?a≤e，即0?a≤e?1时，m?x?在x?1?a处取最小值．
令m?1?a??1?a?aln(1?a)?1?0，即a?1?1?aln(a?1)，可得a?1?1?ln(a?1)．
a考查式子t?1?lnt，
t?1因为1?t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．?????14分 ③ 当1?a?e，即a?e?1时，m?x?在?1,e?上单调递减，
21?ae?0，解得a??1． 只需m?e??e?a?ee?12综上所述，实数a的取值范围是???,?2??e?1,??． ??????????16分
?e?1?