第8点 动量守恒定律与能量守恒定律、功能关系、动能定理的结合
1．动量和能量是反映系统状态的两个重要物理量，动量守恒和能量守恒是解决力学问题的两大主线，它们又经常一起出现在试题中，根据动量守恒定律、能量守恒定律，分别从动量角度和能量角度研究系统的初、末状态是解决综合性问题的基本思路方法．
2．对于碰撞、反冲类问题，应用动量守恒定律求解．对于相互作用的两物体，若明确两物体相对滑动的距离，除了考虑动量守恒外，也应考虑选用能量守恒(功能关系)建立方程．特别要注意：应用动量定理、动能定理、动量守恒定律等规律解题时，物体的位移和速度都要相对于同一个参考系，一般都以地面为参考系．
对点例题 如图1所示，光滑水平面上放置质量均为M＝2 kg的甲、乙两辆小车，两车之间通过一感应开关相连(当滑块滑过感应开关时，两车自动分离)．其中甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P之间的动摩擦因数μ＝0.5.一根通过细线(细线未画出)拴着而被压缩的轻质弹簧固定在甲车的左端，质量为m＝1 kg的滑块P(可视为质点)与弹簧的右端接触但不相连，此时弹簧储存的弹性势能E0＝10 J，弹簧原长小于甲车长度，整个系统处于静止．现剪断细线，求：(g＝10 m/s)
2
图1
(1)滑块P滑上乙车前瞬间速度的大小；
(2)要使滑块P恰好不滑离小车乙，则小车乙的长度至少为多少？
解题指导 (1)设滑块P滑上乙车前的速度为v0，小车的速度为v，选甲、乙和P为系统，对从滑块P开始运动(初状态)到滑上乙车前(末状态)的过程，应用动量守恒有
mv0－2Mv＝0
在这个过程中系统的机械能守恒，有
112
E0＝mv20＋×2Mv
22联立两式解得：v0＝4 m/s 同时可得v＝1 m/s
1
(2)设滑块P到达小车乙另一端时与小车恰好有共同速度v′，选滑块的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有mv0－Mv＝(m＋M)v′
2
解得：v′＝ m/s
3对滑块P和小车乙组成的系统， 由能量守恒定律得 12121
mv0＋Mv－(m＋M)v′2＝μmgL 222
5
联立各式，代入数据求得：L＝ m 3
5
答案 (1)4 m/s (2) m
3
点拨提升 动量和能量的综合问题往往涉及的物体多、过程多、题目综合性强，解题时要认真分析物体间相互作用的过程，将过程合理分段，明确在每一个子过程中哪些物体组成的系统动量守恒，哪些物体组成的系统机械能守恒，然后针对不同的过程和系统选择动量守恒定律或机械能守恒定律或能量守恒定律列方程求解．
1．如图2所示，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
图2
(1)两球a、b的质量之比；
(2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比．
2
答案 (1)2－1 (2)1－
2
解析 (1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得
1
m2gL＝m2v2①
2
式中g为重力加速度的大小．设球a的质量为m1，在两球碰后的瞬间，两球的共同速度为v′，以向左为正方向，由动量守恒定律得
m2v＝(m1＋m2)v′②
2
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得 12
(m1＋m2)v′＝(m1＋m2)gL(1－cos θ)③ 2
m11
联立①②③式得＝－1④
m21－cos θ代入题给数据得＝2－1⑤ (2)两球在碰撞过程中的机械能损失为
m1m2
Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cos θ)⑥
12
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek(Ek＝m2v)之比为
2
Qm1＋m2＝1－(1－cos θ) ⑦
Ekm2
联立⑤⑦式，并代入题给数据得＝1－QEk2 2
2．如图3所示，质量为m1＝0.01 kg的子弹以v1＝500 m/s的速度水平击中质量为m2＝0.49 kg的木块并留在其中．木块最初静止于质量为m3＝1.5 kg的木板上，木板静止在光滑水平面上并且足够长．木块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.1，求：(g＝10 m/s)
图3
(1)子弹进入木块过程中产生的内能ΔE1； (2)木块在木板上滑动过程中产生的内能ΔE2； (3)木块在木板上滑行的距离s.
答案 (1)1 225 J (2)18.75 J (3)37.5 m
解析 (1)当子弹射入木块时，由于作用时间极短，则木板的运动状态可认为不变，设子弹射入木块后，它们的共同速度为v2，对m1、m2组成的系统由动量守恒定律有
2
m1v1＝(m1＋m2)v2
1212又由能量守恒有ΔE1＝m1v1－(m1＋m2)v2
22
联立以上两式并代入数据得子弹进入木块过程中产生的内能ΔE1＝ 1 225 J
(2)设木块与木板相对静止时的共同速度为v3，对m1、m2、m3组成的系统由动量守恒定律有 (m1＋m2)v2＝(m1＋m2＋m3)v3 又由能量守恒有
1122
ΔE2＝(m1＋m2)v2－(m1＋m2＋m3)v3
22
联立以上两式并代入数据得木块在木板上滑行过程中产生的内能ΔE2＝18.75 J
3
(3)对m1、m2、m3组成的系统由功能关系有 μ(m1＋m2)gs＝ΔE2 解得s＝37.5 m
4