1 1 专题二 第二讲
一、选择题
1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是( ) A．等腰三角形 C．等边三角形 [答案] B
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( )
πA. 6π5πC.或 66[答案] D
a2＋c2－b2
[解析] 由(a＋c－b)tanB＝3ac得，·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝
ac
2
2
2
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
πB. 3π2πD.或 33
a2＋c2－b23π2π
得，2cosB·tanB＝3，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D. 2ac233
3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为( )
1A. 322C. 3[答案] A
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB， ∴sin(B＋C)＝3sinAcosB， ∴sinA＝3sinAcosB， 1
∵sinA≠0，∴cosB＝.
3
(理)(20xx·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )
1
B．－
322D．－ 3
A．－1C. 2
2 3
B.2 2
1D．－
2
[答案] B
tanA＋tanB
[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以
1－tanA·tanB3ππ2A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.
442
4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A．－3 C．1 [答案] A
[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2， 所以tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ3
＝＝－3.故选A.
1－tanα·tanβ1－2
B．－1 D．3
[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．
5．(20xx·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝tanA
2b，＝3，则b等于( )
tanC
A．3 C．6 [答案] B
tanA
[解析] ∵＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，
tanBb2＋c2－a2
∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·，
2bc∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.
ππ
6．(文)函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质( )
23π
A．最大值为1，图象关于点(，0)对称
6π
B．最大值为3，图象关于点(，0)对称
6π
C．最大值为1，图象关于直线x＝对称
6π
D．最大值为3，图象关于直线x＝对称
6
B．4 D．7
[答案] B
[解析] y＝－sinx＋＝－3(31cosx－sinx 22
31π
sinx－cosx)＝－3sin(x－)， 226
π
∴最大值为3，图象关于点(，0)对称．
6(理)给出下列四个命题：
πkπ3π
①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；
428②函数f(x)＝sinx＋3cosx最大值为2； ③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π； πππ
④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．
422其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3 [答案] B
ππ
[解析] ①由2x－＝kπ＋，k∈Z，
42kπ3π
得x＝＋(k∈Z)，
28
πkπ3π
即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；
428π
②由f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋)知，
3函数的最大值为2，正确；
1
③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；
2
ππ
④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．
44二、填空题
7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案] 153
[解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝153.
1
2
B．2 D．4
8．(文)(20xx·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________． [答案] 1
[解析] ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ ＝sinx≤1. ∴最大值为1.
(理)(20xx·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c1
＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________． 4
1
[答案] －
4
[解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c， 1
又∵b－c＝a，
431∴b＝a，c＝a，
42
92122
a＋a－a
4b＋c－a161
∴cosA＝＝＝－.
2bc314
2×a×a
42
2
2
2
→→→
9．在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________． π
[答案] 6
→→→→→→→
[解析] 由已知可得(AB－3AC)·CB＝0，AB·CB＝3AC·CB，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC，
由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，
化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，
11即有sinA＝sin(C－B)≤，
22ππ
综上，0
66三、解答题
10．(文)(20xx·山东文，17)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 已知a＝3，cosA＝
6π
，B＝A＋. 32
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积． [解析] (1)∵cosA＝
63.0
ππ6
又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.
223又a＝3.∴由正弦定理得． ab＝ sinAsinB即3b＝ 3633
∴b＝32.
π3(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，
23
∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝11132
∴S△ABC＝absinC＝×3×32×＝.
2232
1
cos x，－?，b＝(3sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)(理)(20xx·陕西理，16)已知向量a＝?2??＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
π
0，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在??2?1
[解析] f(x)＝a·b＝3sinxcosx－cos2x
2＝
31
sin2x－cos2x 22
33661
×(－)＋×＝ 33333
π
＝sin(2x－)
6
2π
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π
2πππ5π
(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，
2666π1
∴sin(2x－)∈[－，1]
62
πππ
故当2x－＝即x＝时，f(x)max＝1
623ππ1
当2x－＝－即x＝0时，f(x)min＝－.
662