2019-2020学年高中数学 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2
【学习目标】
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法； 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 【学习内容】 一、课前预习
（预习教材89-91页，找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法. 二、课堂互动探究:典例精析 变式训练 探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 . 试试：
证明：2,3,5不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题
例1 已知a?0,证明x的方程ax?b有且只有一个根.
变式：证明在?ABC中,若?C是直角,那么?B一定是锐角.
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60?.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 动手试试
1练1. 如果x?,那么x2?2x?1?0.
2
练2. ?ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证:B?90?.
三、总结提升 学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”. 三．课堂练习及课后作业
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60?”时，反设正确的是（ ）. A．假设三内角都不大于60?B．假设三内角都大于60? C．假设三内角至多有一个大于60? D．假设三内角至多有两个大于60?
2. 实数a,b,c不全为0等价于为（ ）.
A．a,b,c均不为0 B．a,b,c中至多有一个为0
C．a,b,c中至少有一个为0 D．a,b,c中至少有一个不为0
1113.设a,b,c都是正数，则三个数a?,b?,c?（ ）.
bcaA．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
4. 用反证法证明命题“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设为 .
5. “x?4”是“x2?4x?0”的 条件.
1?x1?y,6. 已知x,y?0,且x?y?2.试证:中至少有一个小于2. yx