二次函数
考点一、二次函数的概念 （1）定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. （2）注意： ①二次项系数不为“0”；
②未知数最高指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、若y?(m2?m)·x|m|?1是二次函数，则m的值为 ． 变式训练：若y?(m2?m)xm2?m是二次函数，则m的值为 。
例２、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x(自变量)的关系是
______． 例３、下列函数关系中，可以看作二次函数y?ax?bx?c(a?0)模型的是（ ）．
2 （A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
（B）我国人口年自然增长率为1％，这样我国人口总数随年份的变化关系
（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） （D）圆的周长与圆的半径之间的关系
说明：此题在实际情境中考查了对二次函数模型构建的理解．考查了如何从所给命题中，找出变量，建立解析式．可用排除法
针对性练习：
一、填空题
1．正方形的边长是2cm，设它的边长增加x cm，正方形的面积增加y cm2，则y与x之间的函数关系为______，
y是x的______次函数．
2．2002年重庆市的国民生产总值是2000亿元，预计2003年比2002年、2004年比2003年每年都增长x，
则2003年重庆市的国民生产总值为____亿元；设2004年重庆市的国民生产总值为y亿元，则y与x之间的函数关系为______，y是x的______次函数．
3、若y?(m?m)x2m2?m是二次函数，则m的值为 。
二、选择题
1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
（A）y?1?2x2 （B）y?2(x?1)?5 （C）y?2．若y?(m?m)x2m2?m21(x?1)(x?4) （D）3(x?2)2?3x2 2是二次函数，则m的值为（ ）
（A）1 （B）－2 （C）1或－2 （D）2
3．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的一个圆环的面积为y cm2，则y与x1
的函数关系式为（ ）
（A）y??x2?4 （B）y??(2?x)2 （C）y??(x2?4) （D）y???x2?16?
考点二、会用待定系数法求二次函数的解析式 1、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：“设-----列------解------答” ⑴设：根据条件，设出相应函数的待定解析式； ⑵列：代入数据，列出关于待定系数的方程组； ⑶解：解方程组，求出待定系数的值；
⑷答：将求出的值带入所设的解析方程，即为所求。
2、二次函数的三种解析式以及求二次函数的一般方法：
b4ac?b2b?,2⑴一般式：y?ax?bx?c，对称轴为x??，顶点为（2a； 4a）
2a 条件：已知图像上三点或三组（x、y）的值，通常选择一般式，即列关于a、b、c的三元一次方程组解决.
⑵顶点式：y?a?x?h??k，其中对称轴为x?h，顶点坐标为（h,k）
2条件：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
⑶交点式（两根式）：y?a?x?x1??x?x2?,其中x1,x2是抛物线与x轴的两个交点； 条件：已知图像与x轴的交点横坐标x1、x2，通常选用交点式，只需求待定系数a。
根据条件灵活地选择函数的解析式 典型例题
1、已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．
例2、已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式. 例3、已知抛物线的顶点为(?1,?3)，与y轴交点为(0,?5)，求此抛物线的解析式.
例4已知抛物线与x轴交于A(?1,0)，B(1,0)，并经过点M(0,1)，求抛物线的解析式. 例5、求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
例6、已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．
(1)求二次函数的解析式； (2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大； (3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小．
2
例7已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与x轴两交点的横坐标是－1，3，与y轴交点的纵坐标是?定抛物线的解析式.
例8．已知函数y?ax2?bx?c的图像如下图所示，那么此函数的解析式为（） A、y??x2?2x?3
D．y??x2?2x?3
B．y?x2?2x?3C． C、y??x2?2x?3
3，确2a?0）考点三、二次函数 的图像（抛物线）y?ax2?bx?c（ 和性质 ⑴图象：①确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向；②确定图象与x轴、y轴的交点。 ⑵性质：①确定增减性；②确定最大值或最小值。
⑶相互联系和转化：①特殊y?ax2(a?0)与一般y?ax2?bx?c(a?0)相互联系和转化；
②会把一般式y?ax2?bx?c(a?0)化为顶点式y?a(x?h)2?k(a?0)。 二次函数的平移见下图：
y?ax2,?a?0?
y?ax2?k,?a?0?
y?a?x?h?2,?a?0?
y?a?x?h??k,?a?0? ，y?ax2?bx?c,?a?0?
2类型一、y＝ax2(a≠0)的图象与性质 典型例题：
例１、已知函数y?(m?2)xm2?m?4是关于x的二次函数．
求：（1）满足条件的m的值．
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
说明：解这类有关二次函数的性质问题，最好能画出抛物线的草图，以便利用数形结合思想进行观察和分析．
针对性练习：
1．在同一坐标系中，图象与y?2x的图象关于x轴对称的函数为（ ）．
3
2121x （B）y??x2 （C）y??2x2 （D）y??x2 2212222．抛物线y?3x,y??3x,y?x共有的性质是（ ）．
3（A）y?（A）开口向上 （B）对称轴是y轴 （C）都有最高点 （D）y随x的增大而增大 3．若点A(2,m)在抛物线y?x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是（ ）． （A）（2，4） （B）（－2，4） （C）（2，－4） （D）（－2，－4）
类型二、特殊y＝ax2(a≠0)与一般y=ax2+bx+c(a≠0)相互联系和转化
1．图形的移动（翻折，平移，旋转）
(向下) 2y?a(x?h)2向上 y?a(x?h)?k
平移k个单位
⑴平移：沿x轴平移，左加右减（x变）；沿y轴平移，上加下减（y变）。 ⑵翻折：沿x轴翻折，y相反；沿y轴翻折，x相反。 ⑶原点对称：x、y全相反。
y?ax2平移向 向上(向下) 平移k个单位
y?ax2?k平移向左或右 h个单位左 ( ( h个单位或右) ) 典型例题：
例１、二次函数y?2(x?1)?2的图象，可由y?2x的图象
22A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
例2、将抛物线y?2x向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）．
（A）y?2(x?1)?3 （B）y?2(x?1)?3 （C）y?2(x?1)?3 （D）y?2(x?1)?3
22222例3、抛物线y??而得到．
121x?2x?1可由抛物线y??x2向____平移____个单位，再向____平移____个单位22例4、将二次函数 y = - x2 + 2x + 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为 .
4
例5、将抛物线y?2(x?1)2?3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 ．
例6、已知抛物线C1 的解析式 y = 2x2 - 4x + 5，抛物线 C2 与抛物线C1 关于 x 轴对称，则抛物线C2 的解析式为 .
拓展提升：
1、已知y?2x的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y?2(x?2)2?2 B．y?2(x?2)2?2 C．y?2(x?2)?2 D．y?2(x?2)2?2
2、如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标_____________； (2)阴影部分的面积S＝___________；
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向__________，顶点坐标___________
3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，?4)，且过点B(3，0)．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标
22类型三、y?ax2?bx?c的图象与性质
1、二次函数的性质
函数解析式 开口方向 当a?0时，开口向上 当a?0时，开口向下 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) y?ax2 y?ax2?k 2y?a?x?h? x?0（y轴） x?0（y轴） x?h y?a?x?h??k 2x?h y?ax2?bx?c
bx?? 2ab4ac?b2，(?) 2a4a①a的符号决定抛物线的开口方向；a相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。 ②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
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