项目二 一元函数积分学与空间图形的画法
实验1 一元函数积分学(基础实验)
实验目的 掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.
用定义计算定积分
当f(x)在[a,b]上连续时, 有
?因此可将
bab?af(x)dx?limn??nb?an?k?0n?1(b?a)?b?a?f?a?k??limn?n??n?na?k?f??k?1n?(b?a)?? n??k?0n?1(b?a)?b?a?f?a?k? 与
n?n?a?k?f??k?1?(b?a)?? n?作为数.
?baf(x)dx的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为f,a,b和n的函
10例1.1 (教材 例1.1) 计算输入
?x2dx的近似值.
s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]]; s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];
再输入
Clear[f];f[x_]=x^2;
js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}]; TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ \
则输出
n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
这是
s1 0.125 0.21875 0.273438 0.302734 0.317871 0.325562 0.329437 0.331383 0.332357 0.332845
s2 0.625 0.46875 0.398438 0.365234 0.349121 0.341187 0.33725 0.335289 0.334311 0.333822
?
10x2dx的一系列近似值. 且有s1?1sin0?10x2dx?s2.
例1.2 计算
?xxdx的近似值.
47
输入
Clear[g];
g[x_]=Sin[x]/x;
js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]
则得到定积分的一系列近似值:
{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…, {48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}
注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n收敛很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节). 如果用Nintegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.
例1.3 用定义求定积分输入
?bax2dx的动画演示.
Clear[f,x,a,b];
f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;
g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},
DisplayFunction->Identity];
For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={ };tt2={ };
For[i=0,i Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]]; tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1], Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]]; Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction, PlotLabel->m ''intervals '']] 执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅), 如果观察动画, 只要选中24幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画. 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义. 不定积分计算 例1.4 (教材 例1.2) 求x2(1?x3)5dx. 输入 Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x] 则输出 x35x610x95x12x15x18????? 3696318? 例1.5 求e?2xsin3xdx. 输入 Integrate[Exp[-2 x]*Sin[3 x],x] 则输出 48 ??113e?2x(3Cos[3x]?2Sin[3x]) 例1.6 (教材 例1.3) 求?x2arctanxdx. 输入 Integrate[x^2*ArcTan[x],x] 则输出 ?x26?1313xArcTan[x]?6Log[1?x2] 例1.7 求?sinxxdx. 输入 Integrate[Sin[x]/x,x] 则输出 SinIntegrate[x] 它已不是初等函数. 定积分计算 例1.8 求?10(x?x2)dx. 输入 Integrate[x-x^2,{x,0,1}] 则输出 16 例1.9 (教材 例1.4) 求?4|0x?2|dx. 输入 Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}] 则输出 4 例1.10 (教材 例1.5) 求?241?x2dx. 输入 Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}] 则输出 16(?33?2?)?? 例1.11 (教材 例1.6) 求?10e?x2dx. 49 输入 Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则输出 1?Erf[1] 2其中Erf是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入 NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则有结果 0.746824. 变上限积分 cos2xdw(x)dx. 例1.12 (教材 例1.7) 求 dx0输入 D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x] 则输出 -2 Cos[x] Sin[x]w[Cos[x]2] 注意这里使用了复合函数求导公式. ?例1.13 (教材 例1.8) 画出变上限函数 ?x0tsint2dt及其导函数的图形. 输入命令 f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]]; g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2]; 则输出图1.1. 210.5-111.522.53-2 图1.1 求平面图形的面积 例1.14 (教材 例1.9) 设f(x)?e?(x?2)50 2 cos?x和g(x)?4cos(x?2).计算区间[0,4]上两曲线所 围成的平面的面 积. 输入命令 Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]];g[x_]=4 Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]}]; FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}] NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}] 则输出两函数的图形（图1.2）及所求面积s?4.17413. 43211-1234 图1.2 求平面曲线的弧长 例1.15 (教材 例1.10) f(x)?sin(x?xsinx),计算(0,f(0))与(2?,f(2?))两点间曲线的弧长. 输入命令 Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]]; Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}] 则输出曲线的图形（图1.3）及所求曲线的弧长12.0564. 10.51-0.523456-1 图1.3 注: 曲线y?f(x)在区间[0,2?]上的弧长s? 2?0 ?1?(f?(x))2dx. 51