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专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
一 能力培养
1,归纳?猜想?证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨
问题1数列{an}满足a1?1?,a1?a2?????an?n2an,(n?N). 2(I)求{an}的通项公式; (II)求
1?100n的最小值; an(III)设函数f(n)是
1?100n与n的最大者,求f(n)的最小值. an问题2已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:
a1?a,an?f(an?1) (n=2,3,4,???),a2?a1,
f(an)?f(an?1)=k(an?an?1)(n=2,3,4,???),其中a为常数,k为非零常数.
(I)令bn?an?1?an(n?N),证明数列{bn}是等比数列; (II)求数列{an}的通项公式; (III)当k?1时,求liman.
n???
???????????????????????????问题3已知两点M(?1,0),N(1,0),且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小
于零的等差数列.
?????????(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为(x0,y0),记?为PM与PN的夹角,求tan?.
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三 习题探讨 选择题
1数列{an}的通项公式an?n2?kn,若此数列满足an?an?1(n?N),则k的取值范围是 A,k??2 B,k??2 C,k??3 D,k??3 2等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若
?Sna2n,则n= ?Tn3n?1bn22n?12n?12n?1 B, C, D, 33n?43n?13n?13已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是
A,A,(0,1?51?51?51?51?5,1] C,[1,) B,() D,(,) 2222211,第10项开始比1大,记lim2(an?Sn)?t,则t的取值范围是
n??n254834343?t??t??t?A,t? B, C, D,
757525755075504在等差数列{an}中,a1?x2y25设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是椭圆2?2?1(a?b?0)上三个点,F为焦点,
ab若AF,BF,CF成等差数列,则有
A,2x2?x1?x3 B,2y2?y1?y3 C,
211?? D,x22?x1?x3 x2x1x31为 36在?ABC中,tanA是以?4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空
7等差数列{an}前n(n?6)项和Sn?324,且前6项和为36,后6项和为180,则n? . 2?322?3223?332n?3n???????8Sn?,则limSn? . n??662636n9在等比数列{an}中,lim(a1?a2?????an)?n??1,则a1的取值范围是 . 15n210一个数列{an},当n为奇数时,an?5n?1;当n为偶数时,an?2.则这个数列的前
2m项之和S2m? .
11等差数列{an}中,Sn是它的前n项和且S6?S7,S7?S8,则①此数列的公差d?0,
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②S9?S6,③a7是各项中最大的一项,④S7一定是Sn中的最大项,其中正确的是 . 解答题
12已知f(x)?a1x?a2x2?a3x3?????anxn,且a1,a2,a3???an组成等差数列(n为正偶数). 又f(1)?n2,f(?1)?n,(I)求数列的通项an;(II)试比较f()与3的大小,并说明理由.
13已知函数f(x)?3x?bx?1是偶函数,g(x)?5x?c是奇函数,正数数列{an}满足
212a1?1,f(an?1?an)?g(an?1an?an2)?1.
(I)若{an}前n项的和为Sn,求limSn;
n??(II)若bn?2f(an)?g(an?1),求bn中的项的最大值和最小值.
14. 已知等比数列{xn}的各项不为1的正数,数列{yn}满足yn?logxna?2(a?0且
a?1),设y4?17,y7?11.
(I)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设bn?2n,Sn?b1?b2?b3?????bn,求limySn的值.
n??225(III)试判断,是否存在自然数M,使当n?M时xn?1恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由.
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15设函数f(x)的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数x1,x2,都有f(x1)?f(x2)
?x1?x2,且存在x0,使得f(x0)?x0,数列{an}中,a1?x0,f(an)?2an?1?an(n?N),
求证:对于任意的自然数n,有: (I)an?x0; (II)an?xn?1.
参考答案:
问题1解:(I)a1?a2?????an?n2an,得Sn=n2an
当n?2时,an?Sn?Sn?1=n2an?(n?1)2an?1,有(n2?1)an?(n?1)2an?1,即
ann?1. ?an?1n?1于是
1ana2a3a4a21123n?1=.又a1?,得an=. ????????n????????2n(n?1)a1a1a2a3an?1345n?1n(n?1)由于a1也适合该式,故an=
1.
n(n?1)(II)
1?100n=n2?99n=(n?49.5)2?2450.25 an1?100n有最小值?2450. an所以当n?49或50时,
?n(1?n?100)1?(III)因f(n)是, ?100n与n的最大者,有f(n)??1?100n(100?n)an?a?n有fmin(n)=f(1)=1.
问题2(I)证明:由b1?a2?a1?0,得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0. 由数学归纳法可证bn?an?1?an?0(n?N). 而,当n?2时,
?bna?af(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1n???k bn?1an?an?1an?an?1an?an?1因此,数列{bn}是一个公比为k的等比数列. (II)解:由(I)知,bn?kn?1b1?kn?1(a2?a1)(n?N?)
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1?kn?1(n?2) 当k?1时,b1?b2?????bn?(a2?a1)1?k当k?1时,b1?b2?????bn?(n?1)(a2?a1)(n?2)
而b1?b2?????bn?(a2?a1)?(a3?a2)?????(an?an?1)?an?a1(n?2),有
1?kn?1(n?2);当k?1时,an?a1=(n?1)(a2?a1)(n?2). 当k?1时,an?a1= (a2?a1)1?k以上两式对n?1时也成立,于是
1?kn?11?kn?1当k?1时,an?a1?(a2?a1)= ?a?(f(a)?a)
1?k1?k当k?1时,an?a1?(n?1)(a2?a1)=a?(n?1)(f(a)?a).
1?kn?1f(a)?a]?a?(III)解:当k?1时,liman?lim[a?(f(a)?a).
n??n??1?k1?k问题3解:(I)设点P(x,y),由M(?1,0),N(1,0)得
???????????????????????????PM??MP?(?1?x,?y),PN??NP?(1?x,?y),MN??NM?(2,0) ???????????????????????????22有MP?MN?2(1?x),PM?PN?x?y?1,NM?NP?2(1?x). ???????????????????????????于是MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列等价于
1?22x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)]?x2?y2?3?,即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆C.
?????????(II)设P(x0,y0),则由点P在半圆C上知,PM?PN?x02?y02?1
?????????22222又PM?PN?(1?x0)?y0?(1?x0)?y0=(4?2x0)(4?2x0)=24?x0, ?????????PM?PN112??????得cos??????, 又0?x0?1,1?4?x0?2,有?cos??1,
2PM?PN4?x020????3,sin??1?cos2??1?12tan??3?x?y0. ,由此得024?x0习题解答:
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