本科课程设计（报告）
数值分析课程设计
[设计题一]
设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。
??1??1Hn??2 ????1??n1213?1n?1?????n?1?n?1?? ??1??2n?1?1（提示：先取x（比如x=（1,1…..1））计算出b=Hx,然后通过列主元GAUSS消去法求解Hx=b,得到近似解x,比较之，并研究随着n增大，解的误差变化情况，得出结论 ）
?
设计思路：
（1）取定初值X=（1，1，1，…），计算出b=Hx,然后通过列主元GAUSS消去法求解Hx=b,得
到近似解B=（b1,b2,b3…）； （2）再把近似解B，代入方程b=Hx,，解出X1，比较X与X1，判断H矩阵的病态性；
（3）比较各个H矩阵的病态性，研究它们的误差变化情况。
算法步骤：
（1）取一个三阶H矩阵，按照设计思路的方法，判断出三阶H矩阵的病态性； （2）取一个四、五阶H矩阵，同理，判断出四阶H矩阵的病态性。
程序清单：
Xa=[1;1;1];Ha=[1,1/2,1/3;1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5]; Ba=Ha*Xa Ba=[1.83;1.08;0.78]; Xa=Ha\\Ba
Xb=[1;1;1;1];Hb=[1,1/2,1/3,1/4;1/2,1/3,1/4,1/5;1/3,1/4,1/5,1/6;1/4,1/5,1/6,1/7;]; Bb=Hb*Xb
Bb=[2.08;1.28;0.95;0.76]; Xb=Hb\\Bb
Xc=[1;1;1;1;1];Hc=[1,1/2,1/3,1/4,1/5;1/2,1/3,1/4,1/5,1/6;1/3,1/4,1/5,1/6,1/7;1/4,1/5,1/6,1/7,1/8;1/5,1/6,1/7,1/8,1/9;]; Bc=Hc*Xc
Bc=[2.28;1.45;1.09;0.89;0.75]; Xc=Hc\\Bc
运行过程与输出结果截图：
2
结果分析：
代入近似解Ba,Bb,Bc而得到的X 如下： Xa =
0.99000000000000 1.08000000000001 0.89999999999999
Xb =
1.27999999999997 -1.79999999999961 7.19999999999903 -2.79999999999936
Xc =
1.0e+002 * -0.06999999999975 1.48199999999542 -6.25799999998035 9.37999999997045 -4.53599999998560
由此分析比较初始的Xa,Xb,Xc可以看出，Hilbert矩阵是一个病态矩阵，且随着n的增大，其误差变化加大。
即，Hilbert矩阵是一个随n增大而误差偏离更大的病态矩阵。
[设计题二]
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根x*32年，达。芬奇研究了方程x?2x?10x?20?0并得到它的一个近似
?1.368808107。没有人知道他用什么方法得到它。设计两种方法去计算，并比较这
两种方法。
设计思路与算法步骤：
不动点迭代法：
（1） 先把方程变换为x=20/(x.^2+2*x+10)，并编译函数M文件
（2） 利用不动点迭代法，确定迭代次数，进行运算，不妨设迭代次数为20，由题目可设迭代初
始值X0=1
牛顿迭代法：
（1） 用牛顿迭代法，得到迭代方程 x1=x0－f(x0)/fˊ(x0)，编译函数M文件 （2）取适当的ε，δ，和迭代次数n,进行迭代，直到符合条件时，停止运算。
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（3）确定迭代初始值x0=1，设精确为0.000000001.
程序清单：
1、 函数文件：
原函数;
function y = fun(x) y=x.^3+2*x.^2+10*x-20; 迭代函数： function y=fun1(x) y=20/(x.^2+2*x+10); 导函数： function y =dfun(x)
y=3*x.^2+4*x+10;
2、不动点迭代的M文件：
function [k,pcha,xpcha,xk]=diedai(x0,k) % 输入的量--x0是初始值,k是迭代次数 x(1)=x0; for i=1:k
x(i+1)=fun1(x(i));%程序中调用的fun1.m为函数y=φ(x) pcha= abs(x(i+1)-x(i)); xpcha=pcha/( abs(x(i+1))+eps);%偏差计算 i=i+1;xk=x(i);[(i-1) pcha xpcha xk] end
if (pcha >1)&(xpcha>0.5)&(k>3) %迭代收敛性判断 disp('请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式') return; end
if (pcha < 0.001)&(xpcha< 0.0000005)&(k>3) disp('祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快') return; end
p=[(i-1) pcha xpcha xk]';
牛顿迭代的M文件：
function [k,xk,yk,pcha,xpcha]=newton(x0,tx,fx,n)
%k为迭代初始值，xpcha，pcha是误差范围，迭代终止条件，n控制迭代次数 x(1)=x0; for i=1: n
x(i+1)=x(i)-fun(x(i))/(dfun(x(i))+eps); %牛顿迭代公式与偏差计算表达式 pcha=abs(x(i+1)-x(i)); xpcha= pcha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;
xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) xk yk pcha xpcha]
if (abs(yk) 4 end if i>n k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk pcha xpcha] return; end [(i-1),xk,yk,pcha,xpcha]' 运行过程与输出结果截图： %在命令窗口中输入以下语句，可得以下结果: [k,pcha,xpcha,xk]=diedai(1,20) [k,xk,yk,pcha,xpcha]=newton(1,0.000000001, 0.000000001,1000) 不动点迭代 牛顿迭代 5