大学物理练习册—稳恒磁场
磁感应强度
9-1 如图9-1所示，一条无穷长载流20 A的直导线在P点被折成1200的钝角，设d＝2cm，求P点的磁感
应强度。
解：P点在OA延长线上，所以OA上的电流在P的磁感应强度为零。
B 作OB的垂线PQ ，?OPQ?30?，OB上电流在P点的磁感应强度大小
1200 P ?I?0I?d O A I B?0(sin??sin?)?(sin?sin30?)
4?PQ214?dcos30?2图9-1
4??10?7?201?(1?)?1.73?10?4Wb/m2，方向垂直于纸面向外。
234??0.02?29-2半径为R的圆弧形导线与一直导线组成回路，回路中通有电流I，如图9-2所示，求弧心O点的磁感应
强度（图中 ? 为已知量）。 解：?圆环电流在圆心处的磁场
B??0I2RC
I
O R B ?圆弧ABC在O处的磁场
?0I2????() 方向垂直纸面向里 B12R2?? A I 又直线电流的磁场
B??0I(sin?2?sin?1)，?直线AB在O处的磁场 4?a图9-2 B2??0I?0I????I?[sin?sin(?)]??2sin?0tg 方向垂直纸面向里
?4?a2222?R24?Rcos2弧心O处的磁场
B?B1?B2??0I?(2????2tg) 4?R29-3 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点，并与很远的电源相连。如图9-3所示，求环中心的磁
感应强度。
解：设铁环被A、B两点分成两圆弧的弧长分别为l1、l2，电阻分别为R1、R2，电流分别为I1、I2。
由图知
R1与R2并联，?I1?R2?l2 即
I1l1?I2l2
I2R1l1O A I I ?I1在O点的磁感应强度
?Il?l1?0121 方向垂直于纸面向外 B1?2R2?R4?R?I2在O点的磁感应强度
?0I1B 图9-3 B2?
?0I2?Il?l2?0222 方向垂直于纸面向内 2R2?R4?R40
大学物理练习册—稳恒磁场
即
??????、大小相等，方向相反。 B1B2B0?B1?B2?0
9-4一半径为R的薄圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为+σ，其余部分均匀带负电，
面电荷密度为-σ（见图9-4）。设此盘以角速度为ω绕其轴线匀速转动时，圆盘中心O处的磁感应强度为零，问R和r有什么关系？并求该系统的磁矩。 解：（1）取半径为r?、宽为dr?的圆环面元，所带电量 dq??ds???2?r?dr?
? O R r 图9-4
?dq 2??????2?r?dr?0?0dI???dr??dB? ?2??02r?2r?2产生的电流 dI?r??r的部分产生的磁场 B???dB??r?0??2?0??2dr???0??r2?0??2 方向水平向右
0r?r??R的部分产生的磁场
B??dB???rRdr??(R?r) 方向水平向左
由题意
B0?B??B??0 即
?0??2(2r?R)?0， ?R?2r
（2）dI的磁距大小
dPm??r?2dI????r?3dr?
r1r??r部分 Pm??????r?3dr?????r4 方向水平向右
4013(R4?r4) 方向水平向左 r?r??R部分 Pm??????r?dr?????4rR1117?Pm?Pm??Pm?????(2r4?R4)????(R4?R4)?????R4 方向水平向左
448329-5氢原子处在正常态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a＝0.53×108cm的轨道（称为玻尔轨道）
上作匀速圆周运动，若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为12.5T，求（1）电子运动的速度大
-小？（2）该系统的磁矩。（电子的电荷电量e＝1.6×1019C）。
-
解：（1）作匀速圆周运动的电子，形成电流的电流强度为
I?ev?e? ?t2?aI在轨道中心处产生的磁感应强度
B??0I2a??0ev 4?a224?a2B4?3.14?(0.53?10?10)?12.5?v???2.2?106m?s?1 ?7?194?3.14?10?1.6?10?0e 41
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eveva1.6?10?19?2.2?106?0.53?10?102（2）Pm?IS???a???9.33?10?24A?m2
2?a22磁通量
9-6已知一均匀磁场的磁感应强度B＝2T，方向沿x轴正方向，如图9-6所示，已知ab＝cd＝40cm，bc＝
ad＝ef＝30cm，be＝cf＝30cm。求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量。
?解：（1）B垂直穿过平面abcd
???Φm1?B?Sabcd??BSabcd??2?0.4?0.3??0.24Wb
b a y e ?B负号表示线穿入该面
c O d z ?n f ?B
x ???B（2）平行于平面befc，??m2?B?Sbefc?BScos90??0
（3）穿入平面abcd的磁力线数与穿出aefd平面的磁力线数相同
图9-6
?Φm2??Φm1?0.24Wb
9-7两平行长直导线相距d＝40cm，每根导线载有等量同向电流I，如图9-7所示。求：（1）两导线所在平
面内，与左导线相距x（x在两导线之间）的一点P处的磁感应强度。(2)若I＝20A，通过图中斜线所示面积的磁通量（r1＝r3＝10cm，l＝25cm)。 解：建立如图所示的坐标系
d （1）左导线在P点的磁感应强度
?0I，方向垂直纸面向下 B1?2?xx P I r1 r2 图9-7
l I 右导线在P点的磁感应强度
B2??0I2?(d?x)，方向垂直纸面向下
?I11?B?B1?B2?0(?)，方向垂直纸面向下
2?xd?x（2）在x处取宽为dx的面元 dS=ldx 设方向垂直纸面向下，其上磁通量
r3 ???0I11?B?dS?(?)?ldx d?m2?xd?x??r1r2?0I11(?)?ldx?2.2?10?6Wb ?Φm?B?dS?2?xd?x??r1?安培环路定律
9-8如图9-8所示的导体圆管，内、外半径分别为a和b，导体内载有电流I，设电流I均匀分布在导体圆
管的横截面上，求：（1）磁感应强度的分布；（2）通过每米导体圆管S平面内（阴影部分）的磁感应通量。
S 解：（1）作半径为r、圆心在轴线上的圆为积分回路，由安培环路定律 a ???I r?a： LB1?dl?B1?2?r?0， ?B1?0
I b 图9-8
? 42
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a?r?b：B2?2?r??0I???0I?(b?a)22??(r2?a2)
?0I(r2?a2)?B2?，方向与I满足右手螺旋法则
2?r(b2?a2)r?b： B3?2?r??0I，?B3?（2）取面元 dS?ldr?dr
?0I，方向与I满足右手螺旋法则 2?r??m?2?(b2?a2)?a?0Ib2r2?a2dr??0I??0Ialnb r4?2?(b2?a2)a9-9在半径为R的无限长圆柱形导体内部挖去一半径为r的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d，
如图9-9所示。该导体中通有电流I，且I均匀分布在横截面上。求：（1）圆柱导体轴线上的磁感应强度；（2）空心部分轴线上的磁感应强度。
解：填补法。设在半径为r的空间中通有等量而反向的电流，其电流密度与导体中相同
（1）圆柱导体轴线的磁场由半径为r的无限长圆柱体中电流产生
???B1?dl?B1?2?d??0I1??0??LI?(R?r)22??r，B1?2?0Ir22?d(R?r)22
R O d
图9-9 r O’ （2）空心部分轴线上的磁场由半径为R的无限长圆柱体中电流产生
???B2?dl?B2?2?d??0I2??0??LI?(R2?r2)??d2，B2??0Id2?(R2?r2)9-10如图9-10所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为i1和i2，两电流密度
方向平行。求：（1）两面之间的磁感应强度；（2）两面之外空间的磁感应强度。 解：无穷大板的磁感应强度大小
??B??0i2，建立如图所示坐标系
?i1?i2（1）两板之间，B1???0i1?2ex，
?0i2????ex B22????0?
?B?B1?B2?(i1?i2)ex2（2）在右板之外时，B1?图9-10
??0i1?2ex，
????0??0i2?? ?， ?B?B1?B2?(i1?i2)eexB2x22????0i1??0i2?????在左板之外时，B1??ex， B2??ex，?B?B1?B2??0(i1?i2)ex
222
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大学物理练习册—稳恒磁场
9-11如图9-11所示，一均匀密绕的环形螺线管，匝数N，通有电流I，横截面为矩形，圆环内、外半径分
别为R1和R2。求：（1）环形螺线管内外的磁场分布；（2）环形螺线管横截面的磁通量。
??解：（1）磁场分布为以环轴为圆心的一圈圈圆。取一B线为积分回路，方向与B相同。
由安培环路定律，环管内磁场满足
????NIB?dl?B?2?r??0NI，得 B?0
2?rLR2 R1 图9-11
环管外有 B?2?r?0 即 B?0
（2）在横截面上取一宽度为dr的长条面元，磁通量为
b
???0NIbR2dr?0NIbR2?0NI?ln ?bdr，?Φm?d?m?B?dS?BdS?2?r2?R12?rR1?磁场对电流的作用（安培力）
9-12半径为R的平面圆形线圈中载有自流I， 若线圈置于一个均匀磁场B中，均匀磁场方向与线圈平面
垂直，如图9-12，则（1）线圈上单位长度的电流元所受磁场力为多少？（2）左半圆受力如何？（3）整个圆形线圈又如何？ 解：（1）任取一电流元Idl，所受磁场力
???????
I R 大小 dF?IBdl 方向指向圆心
（2）由对称性可知，左半圆受力方向水平向右
??B
图9-12
F左??dFcos???IB?Rd??cos???IBR
?2?2（3）右半圆受力水平向左，大小与左半圆相同，所以整个圆形线圈受力为零。
9-13半径为R的平面圆形线圈中载有自流I，一载流I’的无限长直导线通过圆形线圈的圆心放置，并和圆
形线圈共面（相互绝缘），如图9-13所示，则圆形线圈左半圆所受磁力如何？整个圆形线圈所受磁力又如何？
?I’ 解：（1）如图在左半圆上任取一电流元Idl，受力大小
R dF?IBdl?I??0I?2?Rcos??Rd???0II?d? ?2?cos?I 由对称性可知，左半圆受磁场力方向水平向左
?0II?21?F左??dFcos???d???0II?
2???22?图9-13
（2）右半圆受磁力方向水平向左，且与F左相等，?F?2F左??0II?
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