非对称建筑结构模态pushover分析方法的研究
汪梦甫 王朝晖
（湖南大学土木工程学院 湖南长沙 410082）
摘 要: 三维模态pushover分析（3D MPA）为非对称建筑结构的抗震性能验算提供了一个简便方法。本文研究了不同方向模态荷载作用对非对称建筑结构pushover分析结果的影响，提出了取各个模态正向与反向pushover分析结果较大值, 参与完全二次项模态组合来计算结构效应的最大值(如最大层间位移,最大扭转角等), 从而形成非对称建筑结构模态pushover分析方法。并以一个20层框架—剪力墙结构为例，以弹塑性时程分析结果为基准，比较了建议方法与只考虑正向或反向pushover分析方法的差别。结果显示，本文建议方法的计算结果与时程分析结果更为接近。
关键词：不规则结构 三维正反向模态pushover分析 模态荷载方向
UPPER-BOUND MODAL PUSHOVER ANALYSIS METHOD FOR
ASYMMETRIC BUILDING STRUCTURES
Wang Mengfu Wang Zhaohui
(College of Civil Engineering, Hunan University Changsha Hunan 410082)
Abstract: 3D modal pushover analysis (3D MPA) is a simple method for evaluating the seismic performance of irregular structures. In this paper, the influence of modal loading’s direction is studied in detail, and a method, which combines all modal pushover analysis results with positive or negative direction, is proposed to compute the structural story drifts and torsion rotations. As a example, 3D MPA and elastic-plastic history analysis are performed for a 20-story frame-wall building, and the result difference between the proposed method and usual method, in which the modal loading’s directions are all positive or negative only, is examined. The comparison shows that the result of proposed method is more accurate than that of history analysis, and the propos method is serviceable for MPA.
Keywords: irregular structures 3D positive and negative modal pushover analysis modal load’s direction
0 前言
在基于性能的抗震设计中，pushover分析方法得到了广泛的研究与应用。为了克服常规pushover方法难以考虑高阶振型影响这一缺陷，国内外许多研究者在水平力分布模式、形状向量的选取、目标位移的计算等方面对其进行了大量的研究。Anil K Chopra等建议的模态pushover 分析(MPA)就是对常规pushover分析的改进，它在静力pushover分析中明确采用多个振型进行多次分析，将多次分析的结果进行组合，据以评价结构的性能
[1-4]
1 模态pushover方法
模态pushover 分析借用了振型分解法解线性体系运动方程的思路，在线性体系中，可通过振型分解的方法将自由度相互耦合的运动方程组变为多个独立的方程。在多自由度结构的弹塑性振型的运动方程中，结构侧向恢复力不再仅仅是侧向位移的线性函数，因为随着位移的时程变化，结构的刚度也发生变化，其运动微分方程可表示为
。本文首先
??cx??fs?signx????M???g (1) M?x1?x对于弹塑性体系，振型分解法已不再适用，现假定有一个线性体系，其刚度矩阵与该弹塑性体系中初始刚度矩阵相同，且这两个体系具有相同的质量与阻尼，这样，则线性体系的自振周期与弹塑性
简要介绍模态pushover方法的基本原理、着重研究钢筋混凝土结构三维模态pushover分析的具体应用方法，然后通过一个实例评价MPA方法的准确性与适用性。
体系在线性范围内微幅振动时周期与振型相同。
将弹塑性体系的位移x用相应的线性体系的模态表示，即
力骨架曲线FsnLn?Dn,就可以采用弹塑性时程分析或根据反应谱得到其最大地震反应。
x?t???n?1N恢复力骨架曲线FsnLn?Dn由推覆曲线转
φnqn?t?化而来。根据第n阶模态荷载sn?Mφn对结构进行推覆分析，即可得到其基底剪力—顶点位移曲线，
将其代入（1）式，经过简化后得到
??n?2ζnωnq?n?qFsn??γnag?t? （2）
Mn(n?1.2.3?N)
其中：Fsn?Fsn?q,signq???φTnfs?x,signx?? MTn?φnMφn
γφTnM{1}n?φTφ
nMn对于任一个模态来说，恢复力
FsnM与所有的模
n态坐标有关，也就是说，当结构的刚度改变后，各个模态之间是相互耦合的，因此，求解式（2）与求解式（1）的工作量是相同的。
研究表明[5]，在（2）式的模态反应中，虽然所有模态对qn都有影响，但是第n阶模态的贡献是起主导作用的，因此，可以忽略弹塑性体系中各个模态之间的耦合作用，将（2）式视为一个单自由度体系的运动方程，则既可直接积分计算qn，还可用一个单自由度体系的地震反应Dn来表示之：
qn??nDn 将其代入（2）式得
D???2ζωD?Fsnnnnn?L??ag?t? （3）
n其中LTn?φnM??1
（3）式即第n阶“模态”的非线性单自由度体系的地震运动方程，只要确定了该单自由度的恢复
即Vn?Urn曲线，再将Vn?Urn曲线转化即可得到
FsnLn?Dn骨架曲线，其转化公式为：
Fsn?VnDUrnL* n? nMnγnφrn其中：M*n?Lnγn为第n阶模态的模态质量
根据上述方法，对结构的前几个模态分别进行pushover分析，再将前几个模态的pushover分析结果进行组合，根据组合后的结果即可对结构的抗震性能进行评价。
2 三维正反向模态pushover分析方法
在三维正反向模态pushover分析中，采用刚性楼板假定，结构的各个楼面考虑三个自由度，即两个水平方向的线位移自由度，一个扭转角自由度。由于非对称空间结构在刚性楼板假定下的振型都包括三个方向的分量，故模态 pushover分析中各个模态的荷载向量都同时包括这三个分量，即两个正交方向的水平力和扭矩，荷载施加于各层的质量中心。 2.1 各个模态荷载的方向
在三维模态pushover分析中，各阶模态的荷载是sn?Mφn，由于振型φn仅仅是一个比值，即
? φ n 也是振型。相应地，模态荷载 sn也可以取为sn??Mφn。这就是说，对于每一个模态，需要按
“正向”和“反向”分别推一次。在三维非对称结 构中，由于扭转的影响，正向和反向的推覆曲线有较大的区别，计算的目标位移及其它变形也不同。 2.2 双向地震激励下各个模态的目标位移
本文采用对各个模态的等效单自由度体系进行弹塑性时程分析的方法计算各个模态的目标位移，即直接积分(2)式，故首先必须确定各个模态的“等
效地震波”。在单向地震波激励下，第n阶模态的“等效地震波”为γnag，其中ag为实际输入的地震波。相应地，可以推导得到在双向地震波激励下，第n阶模态的“等效地震波”为γnxagx?γnyagy，即在双向地震波激励下第n阶模态的运动方程为
?q?Fsnn?2ζnωnq?n?M??(γnxagx?γnyagy)
n其中：γφTnxMx?1?φTnyMy?1?nx?φTnMφ γny?φT
nnMφn agx,agy 分别为x、y方向输入的地震波。
故在用弹塑性时程分析方法计算第n阶模态的目标位移时，“等效地震波”采用两个正交水平地震波的线性组合，即γnxagx?γnyagy。其目标位移δntar为δntar?φntqnmax。
其中φnt为振型φn中与顶点自由度相对应的振型方向的元素值。 2.3 各个模态结果的组合
由于每一个模态都按正向和反向分别计算一次，而正向与反向的结果（如层间位移、扭转角等）有所不同，因此，每个模态的分析结果有两个。故取结构的前n个模态分析时，就有2n种模态结果，
（如所有模态都取正向、或者都取负向、或者某些取正向某些取负向）。对于每种模态结果，采用“完全二次项(CQC)”组合就得到相应的组合结果，同样有2n个。在所有这些结果中（如层间位移），取最不利的结果作为最终结果。
3 三维正反向模态pushover方法的应用与评价
本节通过一个20层钢筋混凝土框架—剪力墙结构的正反向MPA分析结果与时程分析结果的比较，来评价MPA方法的适用性与准确性。结构非线性分析程序采用CANNY。
一个20层的钢筋混凝土框架—剪力墙结构，层高为3.3m，1~10层的质量为405.756t,转动惯量为23086t.m2,质量中心为A(9.5，7.65),；11 ~20层的质量为304.317t,转动惯量为11873t?m2
，质量中心与形心重合；结构平面布置见图1。各层柱、剪力墙混凝土等级为C45，柱截面尺寸为：1~10层为
750?750mm，柱内配20
25钢筋；11~20层
为650?650mm，柱内配1625钢筋，剪力墙
纵横向配筋皆为14@150mm。各层梁混凝土等
级为C30，截面尺寸为250?650mm，上下皆配
4
25钢筋。该结构按7度抗震设防。
DD0000115C5C0000A115B5B0000115A5A5100510051005100510051005100123451234 图1 结构平面图
Fig.1 Plan of the building
首先对结构进行模态分析，得到结构的前6个模态的周期及方向见表1。
表1 结构的前6个模态的周期 Table 1 The 6 periods of the building
模态 1 2 3 4 5 6 周期 / s 1.80 1.67 1.22
0.62 0.55 0.41
方向
y
x
扭转
扭转
y
x
3.1弹塑性时程分析
选用4组地震波分别对结构进行双向激励时程分析，取其算术平均值作为最终结果。这4组地震波见表2，取自CANNY，来源是日本建筑中心，地震波的加速度峰值皆调整为2.2m/s2。结构的阻尼取c?0.1?1M。
表2 弹塑性时程分析的地震波 Table 2 The seismic waves for elastic-plastic
history analysis 编号 x
y
1 Elcentro EW分量 Elcentro NS分量 2 Hachinohei EW分量 Hachinohei EW分量
3 Taft N21E分量 Taft S69E分量 4
Tohoku EW分量
Tohoku NS分量
取结构四周的平面框架中在某层的最大层间位移作为该层的层间位移，以各层的最大层间位移作为评估结构抗震性能的指标。4组地震波计算的最大层间位移及扭转角平均值分别见图3、图4。 3.2模态pushover分析
取结构的前6个模态，分别从正向与反向对其进行MPA分析，图2分别是各榀边界平面框架的
层间位移比较，图3及图4分别是结构最大层间位移与扭转角的比较。图中的“MPA正”是正向推覆结果，“MPA反”是反向推覆结果，“MPA3”是按本文建议的正反向模态pushover分析的结果。
20181614MPA正12MPA反数10MPA3层8时程642000.010.020.03位移/m a
20181614MPA正12MPA反数层10MPA3时程8642000.010.020.030.04位移/m b
20181614MPA正12MPA反数MPA3层108时程642000.010.020.03位移/m c
20181614MPA正12MPA反数MPA3层10时程8642000.0050.010.0150.020.025位移/m d
a -1轴框架；b-A轴框架；c-4轴框架；d-D轴框架
图2 边界框架弹塑性层间位移
Fig.2 Elastic-plastic interstory drifts of edge frames 2018161412MPAMPA正数MPA3反层108时程642000.010.020.030.04位移/m 图3 各层最大层间位移
Fig.3 Maximum interstory drifts of each story
20181614MPAMPA正12MPA3反数10时程层864200123扭转角/0.001rad 图4弹塑性层间扭转角
Fig.4 Elastic-plastic interstory torsion rotations
从图2中可以看到：对于各榀边界平面框架，正向MPA与反向MPA计算的层间位移有所差别，差别沿结构高度的分布比较均匀，并且在不同的边界平面框价之间这两种组合方法的差别也是相似的，在本算例中，都表现是反向MPA的层间位移大于正向的层间位移；正反综合取最大值的MPA3计算结果与前两者的差别在不同平面框架中有完全不同的表现：在x方向，柔性边1轴相差最大，刚性边4轴相差最小；在y方向，刚性边D轴及柔性边A轴相差相似。
从图3、图4中可以看到：（1）对于结构的层间位移与扭转角，正向MPA与反向MPA的计算结果有一定差别，而正反向综合取最大值的结果与前述两种组合结果也有区别，但这三种组合方法的结果从总体上来说都是相似的。（2）模态pushover方法能较好地预测结构的最大层间位移与扭转角。其中正反向综合取最大值的方法在结构下部高估了层间变形，在结构上部与时程结果很相符；正向及反向MPA方法在结构上部都低估了结构的层间变形。综合比较起来，正反向综合取大值的方法与时程分析结果更相符。（3）模态pushover方法能较好地预测结构刚度突变层层间变形的增加，这是MPA方法较其它pushover方法优越之处。 4 结论
1、模态pushover方法通过多“振型”推覆直接考虑高阶振型的影响，意义明确。用于三维空间结构中，能较好地预测结构的最大层间位移与扭转角，且较好地预测结构刚度突变层层间变形的增加，与其它pushover方法相比，有较大优势。
2、在模态pushover方法中，模态荷载的方向对分析结果有一定区别，本文建议的正反向模态pushover方法综合了各个模态最不利荷载方向的结果，比全部模态取正向或反向的结果都大，更趋于保守，且与时程分析结果更相符，宜用于MPA方
法中。
参考文献
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