高中数学常见题型解法归纳 极坐标系与参数方程问题的处理
【知识要点】
一、在平面内取一个定点O为极点，引一条射线OX为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点M，设|OM|??，
???XOM，称?、?为点M的极径、极角，有序数对(?,?)就叫做M的极坐标.
二、直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(?,?)，则由三角函数的定义可以得到：?222?x??cos??y??sin? （求
???x?y?点的直角坐标的公式），?（求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量）. y?tan??x??=?（??R）表示过原点且倾斜角为?的直线, ?=?（??0）表示过原点且倾斜角为?的向上的射
线.
三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C上任一点M的坐标x,y都是某个变数tìì?x=f(t)?x=f(t)的函数í，反过来，对于t的每个允许值，由函数式í所确定的点M(x,y)都在曲线C上，
y=g(t)y=g(t)????ì?x=f(t)那么方程í叫做曲线C的参数方程，联系变数x,y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程
??y=g(t)而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程． 四、常见曲线的参数方程：
222（1）圆(x?x0)?(y?y0)?r的参数方程为??x?x0?rcos??y?y0?rsin? （?为参数）；
（2）椭圆
xa22?yb22?x?acos??1的参数方程为? （?为参数）；
y?bsin??22（3）双曲线
xa22?yb?x?asec??1的参数方程 ? （?为参数）；
?y?btan?2（4）抛物线y2?x?2pt?2px参数方程? (t为参数）；
?y?2pt（5）过定点P(x0,y0)、倾斜角为?的直线的参数方程??x?x0?tcos??y?y0?tsin?（t为参数）.当动点A在定点
P(x0,y0)上方时,t?0,且t?|PA|. 当动点B在定点P(x0,y0)下方时,t?0,且t??|PB|.
【方法讲评】
方法一 解题步骤 转化法 先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答. ?x?2+t,?y?kt,【例1】【2017课标3，理科22】在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为??x??2?m,?（m为参数）.设l2的参数方程为?m,?y?k?（t为参数），
直线l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)?2=0，M为l3与
C的交点，求M的极径.
【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第2问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高.
【反馈检测1】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x?2cos??1,?y?2sin?（?为参数）．以平
面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??4sin?．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度． 方法二 解题步骤 用极坐标解决解析几何问题 把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答. 【例2】【2017课标II，理22】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4.
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
（2）设点B的极坐标为??B，?S?1???B＞0?,由题设知OA=2，?B=4cos?,
???OA??B?sin?AOB?4cos??sin????23??3
??3??2sin?2????2??32??当?=-?12时，S取得最大值2+3，所以△OAB面积的最大值为2+3.
【点评】(1)本题的两问，如果用直角坐标来解答，思路难找，计算量大，解题效率低. 如果用极坐标来解答，问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1问中，
|OM|就是点M的极径，|OP|就是点P的极径，并且点M,P的极角相同，所以用极坐标解答就自然了，
所以我们要注意观察已知的信息. 第2小问的观察和思维类似. 【反馈检测2】在直角坐标系xOy中，曲线C1:x?y?4，曲线C2:?标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C1,C2的极坐标方程；
（2）若射线l:????p?0?分别交C1,C2于A,B两点， 求 方法三 解题步骤 用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题 先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答. ?x?3cos?,?y?sin?,?x?1?cos??y?sin?， 以坐(?为参数）
OBOA的最大值．
【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为??x?a?4t,（t为参数）.
y?1?t,?（?为参数），
直线l的参数方程为?（1）若a??1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
从而C与l的交点坐标为(3,0)，(?2124,). 2525