习题1—1（A）
1．判断下列论述是否正确？并说明理由：
（1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”；
(2) 由于函数y?f(x)的图像与其反函数x?f?1(y)的图像是同一条曲线，因此这两个函数实际是同一个函数；
(3) 若将函数y?f(t),t?g(x)复合为复合函数y?f(g(x)),函数t?g(x)的值域必须为 函数y?f(t)的定义域；
(4) 函数y?f(x)在点集I上有界的充分必要条件是它在I上有最大值与最小值； (5) 过函数y?f(x)定义域内的任意一点做x轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只
交于一点； (6) 函数y?1是其定义域内无界函数． x答：（1）不正确．集合本身也是其子集．
（2）不正确．如y?lnx与x?e是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数． （3）不正确．如y?lnt，t?1?x，复合为y?ln(1?x)，函数t?1?x的值域为全体
实数，而函数y?lnt的定义域为全体正实数．
（4）不正确．f(x)在I上有最大值与最小值是f(x)在I上有界的充分条件，不是必要
条件，如y?x在(0，1)内有界，但是没有最大值与最小值．
（5）正确．函数定义决定的． （6）正确．事实上，?M?0，取x0?y1?D，y(x0)?M?1?M． M?12．若集合A?{xx?2},B?{xx??1，x?0}，用区间表示集合A?B、A?B、A\\B． 解：由x?2，或x??1,x?0，得?2?x???，所以A?B?[?2,??)；
由??x?2,?x??1,x?0,得?1?x?0或0?x?2，所以A?B?(?1，0)?(0，2]；
由x?2，及x??1，x?0，得?2?x??1或x?0，所以A\\B?[?2,?1]?{0}．
3．若函数f(x)?x2?1，求f(1)，f(x?1)，f()，f(x??x)?f(x)． 解：f(1)?12?1?0,f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x,
1x1121?x2 f()?()?1?(x?0),
xxx2 f(x??x)?f(x)?(x??x)2?1?(x2?1)?(?x)2?2x?x．
?sinx,f(x)?4．设函数?1?x?e,x?4 求f(?4)，f(0)，f(?)，f(8)．
4?x?10.解：因为?4在4?x?10范围内，所以f(?4)?e1?(?4)?e5；
因为0在x?4范围内，所以f(0)?sin0?0； 因为?在x?4范围内，所以f(?)?sin??0； 因为8在4?x?10范围内，所以f(8)?e1?8?e?7．
5．若函数f(x)的定义域为(?1,1)，求函数f(1?x)，f(x)，f()的定义域． 解：由x?1?1，得f(x?1)的定义域为(?2，0)； 由?1?1xx?1，有0?x?1；得f(x)的定义域为[0，1)；
由1/x?1，有x?1得f(1/x)的定义域为(??，?1)?(1，??)． 6．下列各题中，各对函数是否为同一函数？为什么？ （1）f(x)?x与g(x)?x2；
（2）f(x)?2lnx与g(x)?lnx2；
x2?1 （3）f(x)?与g(x)?x?1；
x?1 （4）f(x)?1?2x?x2与g(x)?1?x． 答：（1）是，x2?x（x?(??,??)）．
（2）不是，前者定义域为x?0，后者定义域为x?0． （3）不是，前者定义域为x?1，后者定义域为全体实数．
（4）不是，前者在x??1时，前者对应法则为f(x)??1?x，后者为g(x)?x?1．
7．若所涉及的函数都在(?l,l)内有定义，证明
（1）两个偶函数之和是偶函数，两个奇函数之和是奇函数；
（2）两个偶（奇）函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数． 证明：设f(x)、f1(x)分别是定义在(?l,l)的偶函数；g(x)、g1(x)分别是定义在(?l,l)的奇函数．
（1）设F(x)?f(x)?f1(x)；G(x)?g(x)?g1(x)，
F(?x)?f(?x)?f1(?x)?f(x)?f1(x)?F(x)，所以F(x)是偶函数； G(?x)?g(?x)?g1(?x)??g(x)?g1(x)??G(x)，所以G(x)是奇函数．
（2）设?(x)?f(x)f1(x)，?(x)?f(x)g(x)，
?(?x)?f(?x)f1(?x)?f(x)f1(x)??(x)，所以?(x)是偶函数；
?(?x)?f(?x)g(?x)?f(x)[?g(x)]???(x)，所以?(x)是奇函数． 8．判断下列函数的奇偶性：
x1?x2 （1）f(x)??sinx； （2）f(x)?sin(1?3x2)；
cosx （3）f(x)?1x1?x(e?e?x)； （4）f(x)?ln． 21?x答：（1）奇函数，由奇偶函数的四则运算性质．
（2）偶函数，由复合函数运算性质，若g(x)是偶函数，则f[g(x)]是偶函数． （3）奇函数，若f(x)在(?l,l)有定义，则f(x)?f(?x)一定是偶函数，f(x)?f(?x)一定是奇函数，本题属于后者． （4）奇函数，f(x)?ln1?x的定义域为(?1，1)，且f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)． 1?x9．证明函数f(x)?lg(x?1?x2)是(??,??)内的奇函数． 证明：因为f(?x)?lg(?x?1?(?x))?lg(1?x?x)?lg2211?x?x2
??lg(x?1?x2)??f(x)，
所以f(x)?lg(x?1?x2)是(??,??)内的奇函数．
10．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期： （1）y?sin?x； （2）y?tan(1?2x)； （3）y?sin2x； （4）y?x?sin2x． 答：（1）是，若f(x)得最小正周期是l，则f(ax)(a?0)得最小正周期是
2?lT??2．，
?a （2）是，同上，y?tan(1?2x)?tan2(?x)，T?（3）是，y?sinx?212?2．
12?(1?cos2x)，T???． 22（4）不是，一个周期函数与一个非周期函数的和（差）一定是非周期函数． 11．求下列函数的反函数：
1?x)； （1）y?3x?1； （2）y?1?ln( （3）y?ax?bcx?d(ad?bc?0)； （4）y?1?2sin2x(x??4)．
解：先反解x?x(y)的表达式，再将变量x与y互换．
（1）由y?3x?1，得x?11(1?y2)(y?0)，反函数为y?(1?x2)(x?0)． 33（2）由y?1?ln(1?x)，得x?1?ey?1(???y???)
反函数为y?1?ex?1(???x???)． （3）由y?ax?bb?dya，有(cx?d)y?ax?b，得x?(y?) cx?dcy?ac反函数为y?b?dxa(x?)．
cx?ac1y?1?arcsin，因为x?，所以?1?y?3， 224（4）由y?1?2sin2x，得x?反函数为y?1x?1arcsin(?1?x?3)． 2212．在下列各题中，写出由所给函数复合而得的复合函数：
（1）y?u，u?cosx； （2）y?e，u?sinx； （3）y?u，u?1?cosx； （4）y?sinu，u?2v，v?3ux．
解：（1）将u?cosx代入到y?u3中，得复合函数y?cos3x．
（2）将u?sinx代入到y?eu中，得复合函数y?esinx．
（3）将u?1?cosx代入到y?u中，得复合函数y?1?cosx． （4）将v?x代入到u?2v中，得u?2x，将u?2x再代入到y?sinu中，
得复合函数y?sin2x．
13．将下列复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算： （1）y?ln(2x?1)； ； （2）y?cos21x；
（3）y?1?ex?1； （4）y?arctan21?sinx．
1?sinx解：（1）y?lnu,u?2x?1． （2）y?u,u?cosv,v?1x．
（3）y?u,u?1?ev,v?x?1． （4）y?arctanu,u?1?v,v?sinx． 1?v14．某厂生产的产品1000吨，定价为130元/t．当出售量不超过700吨时，按原定价出售；
超过700吨的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数． 解：设Q是销售量，R是销售收入， 当0?Q?700时，R?130Q；
当700?Q?1000时，R?130?700?0.9?130(Q?700)?117Q?9100，所以
0?Q?700，?130Q， R??，700?Q?1000.?117Q?910015．某种品牌的电视机每台售价为1500元时，每月可销售2000台，每台售价为1300元时，
每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数． 解：设Q是销售量，P是每台售价，由题意，有Q?b?aP，
将P?1500时，Q?2000；P?1300时，Q?2400代入，得a?2、b?5000， 所以，Q?5000?2P． 16．证明下列各等式：