第六章 群论与量子力学
§6.1 哈密顿算符群和相关定理
??r?为哈密顿算符，g为同一坐标中的线性变换，设HPg为与之对应的函数变换算符，
???Pgf?r??f?g?1r?，f?r?为任意函数，有：
?????????r??r??gr??gr??Pg?1f?r? ?f?r??PgPg?1H?f?r??PgH?f?gr??PgHH???r??PH??gr?P（由f?r?为任意函数） 故Hgg?1???若坐标经过变换g作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r'?gr，
?????1????????r??r??r??gr??r??r??H?，则： H??PgH?Pg或H?r?Pg?PgH? H'??H??r?在函数变换算符Pg的作用下不变时，则H??r?与Pg对易：即当哈密顿算符H
????H,Pg?0
??不变的变换g作成【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符H???r的集合构成一个群，称为该哈密顿算符H?的群，或薛定谔方程的群：
????gr??r??H? GH?gH??gr??H??r? 存在逆元：?g?GH，有H令r'?gr，则r?gr'，代入得：
????????1??????gg?1r??g?1r??r'??H'?，故g?1?GH H'?，即：H
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封闭性：
?g,g'?GH,有：
???????1?1?(gg'rH)?Pg'H(gr)Pg'?Pg'H(r)Pg'?H(g'?1r)?H(g'?1r)?H(r)
结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：P GH?{Pg|g?GH}。以下三个定理给出了群的表示理论与量子力学之间最重要的联系。
?的具有相同本征能量的本征函数，构成薛定谔方程群表◆定理6.1◆ 哈密顿算符H示的基函数。
?的本征能量En为?重简并，则存在?个线性无关的本征函数， 证明：设哈密顿HHH以它们为基构成复数域上的线性空间，记为W。可以证明W为?i, i?1,2?,?，
哈密顿算符群的表示空间：
?????r?Pg?PGH，有 PgH??i?r??PgEn?i?r?
由PgH?HPg，可得：
???????P??r，即??为本征值En的本征函数(该结论由WigerP?r??????H?EP?rgigingi于1927年首先提出，被称为Wigner定理)，
???故，Pg?i?r???Aji?g??j?r?
j?1即本征函数空间是哈密顿算符群的表示空间，对应群表示?A?g??，本征函数
?i?r?,i?1,2,??为表示空间的基函数。
◆定理6.2◆ 构成哈密顿算符群不可约表示的本征函数属于同一能级。 证明: 反证法：
???r?的?个本征函数，?i① 设H?(?)??r?,i?1,2,?,?构成哈密顿算符群的第α个不可
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约表示，而?i(?)，i?1,2?,?，分属于?个不同的能级Ei,i?1,2,?,? 则有：
????????r??i?r??Ei?i????r? 两边以Pg作用，Pg?PGH，有： H??r??i PgH???????g???j?? ?EiPg?i????Ei?A?jij?1???????????????????????????而 PgH?r??i?H?r?Pg?i?H?r??Aji?g??j??Aji?g?Ej?j
j?1j?1即：Ei?Ajij?1?????g??j??????g?Ej??j?? ??A?jij?1??上式两边乘以?k??*，并对整个空间积分，利用(?i?|?j?)??ij有：
????Ei?Ek?Aki?g??0???????????g??EkAki?g? 即 EiAki 由于Ei?Ek，故
????g??0 即A????g?为对角矩阵，是可约表示。与假设矛盾，故?i???基函数Aki不可能分属于?个不同本征值。
???② 若该?个不可约表示基函数分属于m个不同的能级，由?Ei?Ek?Aik?g??0知，
矩阵Ai????g?为包含m个子矩阵的块对角矩阵，因而是可约表示，与假设矛盾。 由①、②可知，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属于同一能级。
构成不可约表示的简并能级称为必然简并能级，构成可约表示的能级称为偶然简并能级。
必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简并，必然简并波函
数给出哈密顿群的不可约表示；
偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简并波函数给出哈密顿群的可约表示。 A1 A1 A1
A
A A2 A2，B1 B B1 B
B2 B2
① ② ③
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B1 A2 B2 P
磁场
① 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A，B上的费米子可取上、下两个方向，对应两个简并波函数，而能量相同，这种能级简并是由系统的对称性决定的。为必然简并，对应不可约表示A和B。 ② 加磁场后系统对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能量，能级发生分裂。系统对称性降低导致能级分裂。
③ 随磁场强度变化，A2、B1两能级重叠发生偶然简并。
④ P点为偶然简并点，对应的表示为A2?B1，随着磁场的变化，偶然简并消失，系统对称性没有发生变化。
哈密顿算符的非偶然简并能量的本征函数，构成哈密顿算符群的不可约表示的基，偶然简并能级除外。
◆定理6.3◆ 设
???i?r?,1?1,2,...,l?为哈密顿算符群PGiH表示的基，则以
??????r?,1?1,2,...,l?为基得到的群表示完全相同；??r?与?,i?1,2,...,l?和???r?Hii???i?r?均按该表示的第i列基变换。 H????????? P?r?Ag?r证明：?Pg?P，有：?gijijGHj?1???????????j?r?。 PgH?i?r??HPg?i?r??H?Aji?g??j?r???Aji?g?Hj?1j?1????
哈密顿算符的所有能级可由哈密顿算符群的不可约表示标记。
?i????r?为第?个不可约表示的第i个基，则H?i????r?亦为该不可约表示的第i个基。
以上讨论不仅适合于哈密顿算符的对称群，对于任何线性厄密算符的对称群同样成立。
群论方法虽然无法知道本征能量和本征函数的具体情况，但是任何能级和波函数都可以用其所属的不可约表示进行分类和标记。
以上讨论是针对哈密顿算符得到的结果，这些结果对于量子力学中任意力学量算
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??符（线性厄密算符）同样适用。
例子：方形势阱的二维量子力学系统，取??2m?1，哈密顿量为：
??2?0|x|??,|y|???2? H?????x2??y2???V?x,y?, V?x,y????otherwise???哈密顿方程：H??E? 一．
哈密顿算符群：二面体群D4
D4的两个生成元C4和C2： C4绕z轴转动?/2，C2绕x轴转? 两个生成元在坐标平面上的群表示： 取基为i，j
?0?1??01??1，A(C4)??A(C)???4?10???10??
?????10??10??1A(C2)???0?1??，A(C2)???0?1??
????D4群特征标表：
A1 A2 B1 B2 E E 1 1 1 1 2 2C4 1 1 -1 -1 0 2C4 2C2 1 -1 1 -1 0 2C'2 1 -1 -1 1 0 1 1 1 1 -2
二. 用群的不可约表示对能级做分类 1． 用分离变量法求解哈密顿方程：
令??x,y??X(x)Y(y)，代入哈密顿方程，得：
?X''?E1X?0?X(??)?X(?)?0，边界条件：?， ?Y''?EY?0Y(??)?Y(?)?0?2?
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