高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
(推荐时间：80分钟)
1．(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7. (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－
721
，sin∠CBA＝，求BC的长． 146
解 (1)在△ADC中，由余弦定理， AC2＋AD2－CD2
得cos∠CAD＝，
2AC·AD7＋1－427
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
727(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 277
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
714所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD ＝
27221
1－??＝，
77
1－cos2∠BAD＝
1－?－
72321
?＝. 1414
sin∠BAD＝
于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BAD·cos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD ＝
321277213
·－(－)·＝. 1471472
BCAC
＝. sin αsin∠CBA
在△ABC中，由正弦定理，得
37·2AC·sin α
故BC＝＝＝3.
sin∠CBA21
6
2．如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形．平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
(1)证明 因为四边形ABCD为矩形，故AB⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD， 故AB⊥PD.
(2)解 过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG. 故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG. 23266
在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.
333设AB＝m，则OP＝PG2－OG2＝ 故四棱锥P－ABCD的体积为 14m
V＝·6·m·－m2＝·8－6m2.
333因为m8－6m2＝8m2－6m4＝ 故当m＝
28－6?m2－?2＋，
334
－m2， 3
66
，即AB＝时，四棱锥P－ABCD的体积最大． 33
66，－，33
此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0,0,0)，B(0)，C(626266
，，0)，D(0，，0)，P(0,0，)． 3333
6266→6→→
故PC＝(，，－)，BC＝(0，6，0)，CD＝(－，0,0)．
3333设平面BPC的一个法向量n1＝(x，y,1)， →→
则由n1⊥PC，n1⊥BC得 6266??x＋y－＝0，
33 ?3
??6y＝0，
解得x＝1，y＝0，n1＝(1,0,1)．
1
同理可求出平面DPC的一个法向量n2＝(0，，1)．
2从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为 |n1·n2|
cos θ＝＝
|n1||n2|
12·1＋14
＝10. 5
3．(2014·课标全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． (1)证明 由题设知anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)解 由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
4．“蛟龙号”从海底带回了某种生物，甲、乙两个生物小组分别独立对该生物离开恒温箱的1
成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的
31概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
2(1)甲小组做了3次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第4次成功前共有3次失败，且恰有两次连续失败的概率；
(3)若甲、乙两个小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 1137212解 (1)甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为P1＝C3()(1－)＋C3. 3()＝33327(2)乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中3次成功3次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数为A24＝12， 1113因此所求的概率P2＝12×()3×()3×＝.
22232(3)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 211
P(ξ＝0)＝()2×()2＝，
329
12111221
P(ξ＝1)＝C12×××()2＋C12×××()＝， 3322233
12121211221311212P(ξ＝2)＝C2， 2()()＋C2×××C2××＋()×C2()＝3233223236121112111212P(ξ＝3)＝C22()×C2××＋C2×××C2()＝， 3223326
121212
P(ξ＝4)＝C2. 2()×C2()＝3236故ξ的分布列为
ξ P 0 1 91 1 32 13 363 1 64 1 361113115数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 93366363
2x2y2
5．如图，已知点A(1，2)是离心率为的椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)上
2ba的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
(3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值． c212
(1)解 由题意，可得e＝＝，2＋2＝1，
a2baa2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝2，c＝2， x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
24
(2)解 设直线BD的方程为y＝2x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y＝2x＋m，由?22
2x＋y＝4，?
得4x2＋22mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64>0?－22 2 m，① 2 m2－4x1x2＝.② 4 所以|BD|＝1＋?2?2|x1－x2|＝ 6 ·8－m2. 2 设d为点A到直线BD：y＝2x＋m的距离， 所以d＝ |m|. 3 12 所以S△ABD＝|BD|·d＝·?8－m2?m2≤2，当且仅当8－m2＝m2，即m＝±2时取等号． 24 因为±2∈(－22，22)，所以当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为2. (3)证明 设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD， 则kAD＋kAB＝(*) 将(2)中①②式代入(*)式， 整理得22＋m?即kAB＋kAD＝0. 所以直线AB、AD的斜率之和为定值． a 6．设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. x (1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； 1 (2)如果对于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 2解 (1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M. 因为g(x)＝x3－x2－3， 2 所以g′(x)＝3x2－2x＝3x(x－)． 32 由g′(x)>0，得x<0或x>； 32 由g′(x)<0，得0 3又x∈[0,2]， 22 所以g(x)在区间[0，]上是单调减函数，在区间[，2]上是单调递增函数． 33285 所以g(0)＝－3，g()＝－，g(2)＝1. 327285 所以g(x)min＝g()＝－，g(x)max＝g(2)＝1. 327故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝所以满足条件的最大整数M＝4. 11 (2)对于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间[，2]上， 22函数f(x)min≥g(x)max. 1 由(1)可知在区间[，2]上，g(x)max＝g(2)＝1. 21a 在区间[，2]上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立， 2x y1－2y2－22x1＋m－22x2＋m－2x1＋x2－2 ＋＝＋＝22＋m·，x1－1x2－1x1－1x2－1x1x2－?x1＋x2?＋1 ?x1＋x2－2?＝0， ? ?x1x2－?x1＋x2?＋1? 112 ≥M， 27 等价于a≥x－x2ln x恒成立． 设h(x)＝x－x2ln x， 则h′(x)＝1－2xln x－x， 1 可知h′(x)在区间[，2]上是单调减函数． 2又h′(1)＝0，所以当1 当 1 所以函数h(x)＝x－x2ln x在区间[，1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减． 2所以h(x)max＝h(1)＝1， 即实数a的取值范围是[1，＋∞)．