新编人教版精品教学资料 课后提升作业 二十二
函数的单调性与导数 (45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 【解析】选B.由题意知, 函数的定义域为(0,+∞), 又由f′(x)=x-≤0, 解得0 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]. 2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( ) A.y=sinx B.y=xex C.y=x3-x D.y=lnx-x 【解析】选B.A中,y′=cosx, 当x>0时,y′的符号不确定; B中,y′=ex+xex=(x+1)ex, 当x>0时,y′>0,故在(0,+∞)内为增函数; C中:y′=3x2-1,当x>0时,y′>-1; D中,y′=-1,当x>0时,y′>-1. 3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是 ( ) ) ( A.y=2-3x2 B.y=lnx C.y= D.y=sinx 【解析】选C.A中,y′=-6x, 当-1 故函数y=2-3x2在区间(-1,1)上不是减函数, B中,y=lnx在x≤0处无意义; C中,y′=-所以函数y= <0对x∈(-1,1)恒成立, 在区间(-1,1)上是减函数; D中,y′=cosx>0对x∈(-1,1)恒成立, 所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数. 4.(2015·湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在B.奇函数,且在C.偶函数,且在D.偶函数,且在 上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数 【解题指南】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性. 【解析】选A.显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称, 又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数, 因为f′(x)= + = , 在(0,1)上f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 5.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围 为 ( ) A.[-,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[-D.[-, ] ,+∞) 【解析】选C.f′(x)=x2+2ax+5,当f(x)在[1,3]上单调递减时,由得a≤-3; 当f(x)在[1,3]上单调递增时,f′(x)≥0恒成立, 则有Δ=4a2-4×5≤0或或 得a∈[-,+∞). ,+∞). 综上a的取值范围为(-∞,-3]∪[- 6.(2016·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是 ( ) A.a> B.0 【解题指南】f(x)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点. 【解析】选A.因为f(x)=ax3-x2, 所以f′(x)=ax2-2x, 又f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调, 所以f′(x)在(0,3)内有零点. 而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0), 所以0<<3,解得a>. 7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若2 【解析】选C.由(x-2)f′(x)>0可得x>2时f′(x)>0, 所以f(x)在(2,+∞)是增函数. 因为24,2<4-log2a<3, 即2a>3>4-log2a>2, 所以f(4-log2a) 又f(x)=f(4-x),所以f(log2a) 【补偿训练】对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必 有 ( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 【解题指南】首先对x分段讨论,解不等式求出f′(x)的符号,判断出f(x)的单调性,然后利用函数的单调性比较出函数f(0),f(2)与f(1)的大小关系,最后利用不等式的性质即可得出所选的答案. 【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0, 所以当x>1时,f′(x)>0; 当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1). 8.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是 ( ) A.f(1)>C.f(1)> B.f(2)< f(2) D.f(0)>e2f(4) f(x), 【解析】选A.令g(x)=则g′(x)== f(x)+ f′(x) (f(x)+2f′(x)),因为函数f(x)满足f(x)+2f′(x)>0,所以g′(x)>0,所以函数 f(1)>f(0),故f(1)> . g(x)在定义域内为增函数,所以g(1)>g(0),所以【补偿训练】已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈ 满足f′(x)cosx+ f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有 . (1) f f (2) (4)f f< >ff 满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0, (3)f(0)< 【解析】因为偶函数y=f(x)对于任意的x∈且 f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′, 所以可构造函数g(x)=则g′(x)= 所以g(x)为偶函数且在所以有ggg ==g = =g=f =. =f, >0, 上单调递增, =2f, ,