第九章 广义积分习题课
一、主要内容 1、基本概念
无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法
Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。
3、广义积分的计算
4、广义积分与数项级数的关系
5、广义积分敛散性的判别原则和程序
包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。
3、Abel判别法和Dirichlet判别法。 4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：
1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子
下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。
??dx例1 判断广义积分I??的敛散性。
0xp?xq分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
1??dxdxI?解、记I1??p，2?1xp?xq 0x?xq对I1，先讨论简单情形。
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p?q时，p?1时收敛，p?1时发散。
p?q，不妨设p?q，则I1??10dx，故，p?0时为常义积分，
xp(1?xq?p)此时收敛。p?0时，由于
p limx?x?01?1 pq?px(1?x)因此，I1与p?积分同时敛散，即p?1时收敛，p?1时发散。
因此，对I1，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。 上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}31时发散。
对I2，类似可以讨论，即 p?q时，p?1时收敛，p?1时发散。
p?q，不妨设p?q，则I2????1dx，由于 qp?qx(1?x) limxqx???1?1
xq(1?xp?q)因此，I2与p?积分同时敛散，即q?1时收敛，q?1时发散。
此时，广义积分I2的敛散性完全由分母中的高阶项决定。 上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}￡1时发散。
综上：p?1?q或q?1?p时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1 1sin(x?)??x例2 讨论I??dx的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。 m2x分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。 90 解：先分析绝对收敛性，由于 1sinx(?)1x |， |?mmxx故，m>1时，广义积分绝对收敛。 当0?m?1时，利用配因子法验证积分片段的有界性， AA1111|?sin(x?)dx|?|?(1?2?2)sin(x?)dx|22xxxx AA111 ?|?sin(x?)d(x?)?|?2dx?M22xxx由Dirichlet判别法，广义积分收敛。 由于 111sinx(?)22sixn?(?)1xco?s2()x?x?x， 2||mmmxxx11cos2(x?)|sin(x?)|??1????xx而类似可以证明?dx收敛，?2mdx发散，因而，?dx22xxmxm发散，故0?m?1时，广义积分条件收敛。 注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。 注、不能将积分分成如下两部分 1sinx(?)??sinx??cosx??11xcosdx?sindx， I??＝dxmm??m222xxxxx通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。 ??ln(1?x)dx的敛散性。 例3 讨论I??0xm分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln（1＋x）的当x?0?和x???时的性质，进行阶的比较。 1ln(1?x)??ln(1?x)dx，I2??dx。 解、记I1??01xmxm对I1， 由于 x?0m?1limx?ln(1?x)?1， mx故，当m- 1<1 ，即m<2时，I1收敛；当m?2时，I1发散。 91 对I2， 利用已知的结论：???0 , limln(1?x)?0，则 x???x? limxpx????0 , p?mln(1?x)， ?l??mx??? , p?m当m?1时，取p使得1?p?m，则 limxpx???ln1(?x)?0 xm故I2收敛。 当m?1时，取p?1，则 limxx???ln(1?x)??? xm故I2发散。 因而，当1?m?2时，I收敛；m?1或m?2时I发散。 例4 讨论I=ò+ 0esinxsin2xdx的敛散性，其中l>0。 lx分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法。 sinx??eesinxsin2xsin2xdxI?dx 解：记 I1??， 2???01xx1对I1，当??1?1 ,i.e ??2时， x lim?x?0??1nesixsin2x?2e x?故，I1收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。 当??1?1 ,i.e ??2时， x lim?x?0??1nesixsin2x?2e x? 92 故，I1发散。 对I2，由于 esinxsin2xe， ???xx故当??1时，I2（绝对）收敛。 当0???1时，由于，对任意A?1， AsiAn?1nesixsin2xdx?2?si1ntetdt?2 且 当x???时，又，此时 1单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，I2收敛。 x?n2esixsin2x2xe?1?1co4sx??1sin?1sin2x ?e?e?????????2?xxxxx?sinx＋?cos4x??e1sin2xedx发散， dx收敛，因此，发散。 dx??1x??1x?x?x?且?＋?1因而，当0???1时，I2条件收敛。 综上，1???2时，I绝对收敛； 0???1时,I条件收敛；??2时，I发散。例5 讨论I??xpsinxqdx的敛散性，其中p、q非负。 0??分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子sinxq，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。 解、先考虑最简情形：q?0时的情形。 记I1(p)??xdx，I2(p)??xpdx，此时，I1(p)、I2(p)分别是无界函数 011p??和无穷限广义积分，因此，p??1时，I1(p)收敛；p??1时， I1(p) 发散；而对I2，p??1 时I2(p)时收敛，p??1时I2(p)发散，故q?0时，I发散。 93