05——06
一.填空题（每空题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，
则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现
从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a?0.1, YX E(X)?0.4，X与Y的协方差为: - 0.2 ， Z?X?Y2的分布律为:
0 1 0.2 0.3 0.4 a -1 1 z 1 2 0.6 0.4
概率 6、若随机变量X~N(2, 4)且?(1)?0.8413，?(2)?0.9772,则P{?2?X?4}?0.815 ，
。 Y?2X?1,则Y~N( 5 ， 16 ）
7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且
X、Y相互独立，则：E(2X?Y)? - 4 ，D(2X?Y)? 6 。 8、设D（X）?25，D（Y）?1，Cov(X,Y)?2，则D（X?Y）? 30
9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本，X为样本均值，S2为样本方
差。则：X~N（8 ， 8/13 ），
252X?8S~?2(25)，~ t(25)。 16s/2510、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之
?ax2, 0?x?1二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??
, 其它?0 求：（1）常数a， （2）p(0.5?X?1.5)（3）X的分布函数F（x）。
解:(1)由???f(x)dx?1,得a?3 2’ (2) p(0.5?X?1?5)=?0.5f(x)dx??0.53x2dx?0.875 2’
x?0?0 ? (3) F(x)??x3, 0?x?1 2’
?1 , 1?x?1..51???2y, 0?x?1,0?y?1三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??
, 其它?0 求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
1?0?x?1??02ydy?1 fX(x)??? 其他 ?0 4’ ??1? 0?y?1?f(x，y)dx??02ydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见f（x，y）, 可知: X，Y相互独立 2’ ?f（?f（Xx）Yy）四、（8分）设总体X~N(0，?2),。X1,...,Xn是一个样本，求?2的矩估计量，并证明它为?2的无偏估计。
解: X的二阶矩为:E(X2)??2 1‘
1n2X的二阶样本矩为A2??Xi 1’
nk?1 令： E(X2)?A2, 1’
1n解得:???Xi2 ,
nk?1?21n?的矩估计量???Xi2 2’
nk?12
?21n?)?E(?Xi2)??, 它为?2的无偏估计量. 3’ E(?nk?12五、（10分） 从总体X~N(u, ?2)中抽取容量为16的一个样本，样本均值和样本
22方差分别是X?75,S2?4， t0.975(15)?2.1315,x015)?6.26,x015)?27.5 .025(.975(求u的置信度为0.95的置信区间和?2 的置信度为0.95的置信区间。 解: (1)n=16,置信水平1???0.95,?/2?0.025,t0.975(15)?2.1315,
X?75,S2?4由此u的置信水平为0.95的置信区间为:
(75?216) 5’ ?2.1315), 即(75?1.0658(2) n=16,置信水平1???0.95,?/2?0.025,x02.025(15)?6.26,x02.975(15)?27.5
S2?4由此?2的置信水平为0.95的置信区间为:
(15?415?4,)?(2.182,9.585) 5’ 22?0.975(15)?0.025(15)六 、 （10分）设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值
u?8,?2?0.25，现检验了一组由16只工件，计算得样本均值、样本方差分
别x?7.65,s2?0.49，试在显著水平??0.05下，对该厂生产的工件的均值和方差进行检验，看它们是否符合标准。
此题中，t0.5(15)?1.76,t0.025(15)?2.13,?0.052(15)?25,?0.0252(15)?27.5,
解:（1）首先对工件的均值进行检验: H0: u?8,H1:u?8 1分 取统计量为t?经计算, t?X?8s/16?, 可得拒绝域为: {t?X?8s/16?t0.025(15)?2.13} ， 2分
x?8s/167.65?8?2?2.13,不在拒绝域内,因此接受H0.认为这批工件的0.7/4均值符合标准。 2分 其次首先对工件的方差进行检验: H0: ?2?0.52,H1:?2?0.52 1分
15?0.49(16?1)s222{????取统计量为??, 可得拒绝域为: 0.05(15)?25} 2分 220.50.52(16?1)s2?29.4?25,在拒绝域内,因此拒绝H0.认为这批工件的方差经计算, ??20.52不符合标准。 2分
XX大学（本科）试卷（ B卷）
2005 -2006 学年第一学期
一. 填空题（每小题2分，共计60分）
1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2．P(A)?0.4,P(B)?0.3。若A与B独立，则P(A?B)? 0。28 ；若已知A,B中至少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A?B)? 0.3，P(AB)? 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同
的概率为： 15/28。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布，则P{X?0}?1?e?1；若X服从均匀分布，则P{X?0}?
0 。
5、设X~N(?,?2)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则?? 2 ；P{X?0}?
0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。
7、若随机变量X~U(1,5)，则p?〈0X〈4?? 0.75 ；E(2X?1)?__7___，
D(3X?1)? 12 ．
8、设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则P{X?n}?0.43，并简化计算
?6?k6?k2k???k??0.40.6?6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 k?0??629、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独
立，则：E(2X?Y)? -4 ，D(2X?Y)? 6 。
10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
则：X~N（20， 1/4 ），pX?20?1= 0.0556 ，
??