随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量
的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布
和
的分布密度
是否独立？说明理由。
。
（a）分别写出随机变量（b）试问：解：（a）
（b）由于：
与
因此
是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此
与
独立。
和
。
2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为
（a）试求
和 的相关系数；
（b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用
的独立性，由计算有：
（b）当
的时候， 和 线性相关，即
3、设
是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即
， 试求方差
函数
解：由定义，有：
。
4、考察两个谐波随机信号
和
，其中：
式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。
（a）求（b）若解：（a）
的均值、方差和相关函数； 与 独立，求
与Y
的互相关函数。
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数， 为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数
，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 由题意可知，
其中
的联合概率密度为：
利用变换： ，及雅克比行列式：
我们有
的联合分布密度为：
因此有：
且V和 相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于
独立、服从正态分布，因此
也服从正态分布，且
所以
。
（4） 由于： 所以 当
时，
因此
当
时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
（2）
当i=j 时令
；否则
，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
，
因此：
P112/9．解： （1）
；
，因此有：
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得： 计算有：
，递推得到
P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：
由此可得特征值为：
，及特征向量：
，
令矩阵
则有：
因此有：