2显然y1?4?0，故kAB?y1?21 ?2y1?4y1?2由于AB?BC，所以kBC??(y1?2)
2??y?y1??(y1?2)[x?(y1?4)]从而?，消去x，注意到y?y1得：
2??y?x?4(2?y1)(y?y1)?1?0?y12?2(2?y)y1?(2y?1)?0
由??0解得：y?0或y?4．
当y?0时，点B的坐标为(?3,?1)；当y?4时，点B的坐标为(5,?3)，均满足是题意．故点C的纵坐标的取值范围是y?0或y?4．
16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，
⊙O上点A/(Rcos?,Rsin?)与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜ 5分 ∴(x?Rcos?)2?(y?Rsin)2?(x?a)2?y2 即2R(xcos??ysin?)?R2?a2?2ax 10分 ∴
xcos??ysin?x?y22?R2?a2?2ax2Rx?y2222
可得：sin(???)?R2?a2?2ax2Rx?y(sin??xx?y22,cos??yx?y22)
∴
R2?a2?2ax2Rx?y22≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分
a2)y22 平方后可化为 ≥1， ?R2R2a2()()?()222a(x?)2y22 即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分． ?R2R2a2()()?()222分
(x?17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y? 20
44(x?1),y??(x?1),y?0。x,y)点P(3311到AB、AC、BC的距离依次为d1?|4x?3y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|。依设，
552d1d2?d3,得|16x2?(3y?4)2|?25y2，即
16x2?(3y?4)2?25y2?0,或16x2?(3y?4)2?25y2?0，化简得点P的轨迹方程为
圆S：2x2?2y2?3y?2?0与双曲线T:8x2?17y2?12y?8?0 （Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：2x2?2y2?3y?2?0 与双曲线T：8x2?17y2?12y?8?0
① ②
因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
1?ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1?d2?d3，解得D(0,)，且知它在圆S上。
2直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
1y?kx?
2③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y?1平行于x轴，表明L2与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??1，直线L的方程为x??(2y?1)。2代入方程②得y(3y?4)?0，解得E(,)或F(-,)。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当k??
543354331时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 21情况2：直线L不经过点B和C（即k??），因为L与S有两个不同的交点，所以L
2?8x2?17y2?12y?8?0?与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组?有且只有一组实数解，1?y?kx??2消去y并化简得(8?17k)x?5kx?2225?0 42该方程有唯一实数解的充要条件是8?17k?0 或(?5k)?4(8?17k)22 ⑤
④
25?0 4
解方程④得k??2234，解方程⑤得k??。
21712342,?,?}。 2172
综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集{0,?18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y??2x|x?1?2,?切线AB的方程为
1y?2x?1.?B、D的坐标为B(0,?1),D(,0),?D是线段AB的中点.
2AE2??1知， 设P(x,y)、C(x0,x0)、E(x1,y1)、F(x2,y2)，则由EC21??1x01??1x0x1?,y1?;1??11??12?2x0?1??2x0x2?,y2?.
1??21??2BE??2,FC得
∴EF所在直线方程为：
21??1x01??1x0y?x?1??11??1?, 22?1??2x01??1x0?2x01??1x0??1??21??11??21??122化简得[(?2??1)x0?(1??2)]y?[(?2??1)x0?3]x?1?x0??2x0.…① 222x0x?x01当x0?时，直线CD的方程为：y?…②
22x0?1x0?1?x??1?32y?(3x?1). 联立①、②解得?，消去，得P点轨迹方程为：x023?y?x0?3?当x0?1311311时，EF方程为：?y?(?2??1?3)x???2,CD方程为：x?，22442421??x?,?2??2?联立解得??也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴x0?1,?x?.
3?y?1.??12???∴所求轨迹方程为y?12(3x?1)2(x?). 3312解二：由解一知，AB的方程为y?2x?1,B(0,?1),D(,0),故D是AB的中点. 令??CDCACB,t1??1??1,t2??1??2,则t1?t2?3.因为CD为?ABC的中线， CPCECF?S?CAB?2S?CAD?2S?CBD.
而
SSt?t1CE?CFS?CEF11133????CEP??CFP?(?)?12?,???,t1t2CA?CBS?CAB2S?CAD2S?CBD2t1?t2?2t1t2?2t1t2?2?P是?ABC的重心.
2设P(x,y),C(x0,x0),因点C异于A，则x0?1,故重心P的坐标为
220?1?x01?x0?1?1?x0x012x??,(x?),y??,消去x0,得y?(3x?1)2.
333333故所求轨迹方程为y?
12(3x?1)2(x?). 33