2013-2014学年高一人教A版数学必修三天天练 §2.3.1变量间的(4)

2013-2014学年高一人教A版数学必修三天天练 §2.3.1变量间的相关关系 Word版无答案]

最小二乘法证明线性回归方程

bx a 设样本点（x1,y1）,（x2,y2） （xn,yn）。设线性回归方程y

i bxi a(i=1,2, n) 其中a,b是待定参数，当变量x去xi(i=1,2, n)时，可以得到y

i yi (bxi a)(i=1,2, n)，它与实际收集到的yi之间的偏差是yi y“各点与此直线的整

体偏差”Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+ +(yn-bxn-a)2

2222

Q y12 y2 yn na2 b2(x12 x2 xn)

2b(x1y1 x2y2 xnyn)

2（ay1+y2 yn）+2ab（x1+x2 xn）

上式看作关于a的二次函数，当a y bx时，上式取最小值。 将a y bx带入上式化简得

22Q y12 y2 yn ny b2[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]

2b[(x1 x)y1 (x2 x)y2 (xn x)yn]

2（yy1+y2 yn）+2by[(x1 x)y1 (x2 x)y2 (xn x)]

上式看作关于b的二次函数

当b

(x

i 1

n

n

i

x)(yi y)

i

(xy

i

i 1

n

i

nxy)

时，上式最小

(x

i 1

x)2

(x

i 1

n

i

x)2