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一 二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2
＋b 2
)·(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论：
(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2
(a ，b ，c ，d 为非负实数)；
a 2＋
b 2·
c 2＋
d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R)．
2．柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．
柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.
3．二维形式的三角不等式
(1)定理3：x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 2
1＋y 2
1＋x 2
2＋y 2
2≥x 1－x 22
＋y 1－y 22
. (2)推论：对于任意的x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，有
x 1－x 3
2＋
y 1－y 3
2
＋
x 2－x 3
2
＋y 2－y 3
2
≥ x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
.
事实上，在平面直角坐标系中，设点P 1，P 2，P 3的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，
y 3)，根据△P 1P 2P 3的边长关系有|P 1P 3|＋|P 2P 3|≥|P 1P 2|，当且仅当三点P 1，P 2，P 3共线，并且
点P 1，P 2在P 3点的异侧时，等号成立．
设m 2x 2＋y
2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.
可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．
∵m 2x 2＋n 2
y
2＝1，
∴x 2
＋y 2
＝(x 2
＋y 2
)? ????m 2
x 2＋n 2
y 2≥? ????
x ·m x
＋y ·n y 2＝(m ＋n )2
.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的