第6卷第1期 沈华:关于矩阵秩的一个不等式 17
定理的证明 设A、B有如下的满秩分解
(3)A=H1L1,B=H2L2
这里H1、H2分别为n×r(A)、n×r(B)列满矩阵,而L1、L2分别为r(A)×m、r(B)×m行满矩阵,则从引理可知CA=CH1,CB=CH2及RA=RL1,RB=RL2。根据(3)可得
A+B=H1L1+H2L2=(H1,H2)
LL
12
(4)
其中(H1,H2)为m×[r(A)+r(B)]矩阵,而(H1,H2)和
LL
12
LL
12
为[r(A)+r(B)]×n矩阵。接下来我们需要计算
的秩,由维数公式,可得
r(H1,H2)=dimC(H1,H2)=dim(CH1+CH2)=
dim(CA+CB)=dimCA+dimCB-dim(CA∩CB)=
r(A)+r(B)-d1
LL
同理可得r
12
=r(A)+r(B)-d2。因而由(4)知
L12
r(A+B)≤mr(H1,H2),r
r(Ar(B)-m2}(5)
另一方面,据(4)及Sylvester得
r(A+),LL
12
-[(A)+r(B)]=r(A)+r(B)-(d1+d2)(6)
6)(2。参考文献
[1]屠伯埙1线性代数—方法导引1上海:复旦大学出版社,19861[2]樊恽主编1代数学辞典1武汉:华中师范大学出版社,19941
2002年第4期第52页载
“电子科技大学高等数学期末试题(附答案)”补遗
(7分)求函数f(x)=七、
(x2-2x)2在[0,3]上的最大值与最小值。[fmax=
[f(x)+
∫
9,fmin=0]
(7分)设f″(x)在[0,Π]上连续,且f(0)=2,f(Π)=1,求八、
(10分)过点(-1,0)作抛物线y=九、
(1)求该平面图形的面积;[=
]3
Π
(x)]sinxdx.[=3]f″
x的切线,该切线与抛物线及x轴围成平面图形。
(2)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。[=(7分)设在[0,1]上f″(x)<0,求证:十、
∫
]6
1
f(x)dx≤f().02
附加题:(5分,做对计分)
(n=2,3,…).求证:数列{xn}收敛,并求其极限。设0<x1<3,xn=
3+xn-1