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高等数学研究２００２年１２月
１主要结论
下面给出弧长函数、投影长函数和旋转体的体积函数在参数表示意义下的表达式，最后得出旋转体体积计算的一般积分公式．
定理设曲线（ｃ）：ｆ２—２：。：（。≤ｆ≤Ｙ）为平面光滑曲线，直线ｚ：Ａ。＋Ｂｙ＋Ｃ一０与曲线ｌＹ—ＹＬＩ
Ｊ
（ｃ）共面且它的任意垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点．则
ｒ弧长函数Ｓ—Ｓ（ｆ）可表为
鼬）一ｆ扫葡下玎黜，ｆ一。３。≤ｆ≤ｙ）
。４
（１）
ＩＹ—Ｙ‘ｚ，
２。投影长函数Ａ一＾（ｆ）可表为
椭’一万寿面Ｊ。ｌＡｙⅦ’一删‘‘’ｌ出“≤‘≤ｙ
３。旋转体的体积函数可表成
‘２’
Ｖ（‘’石矿＿ｊ≥百百而Ｊ。［Ａ卫（ｆ）＋Ｂ３心）十ｃ］２Ｉ以ｙ７“）一Ｂｘ’（ｆ）ｌ出，ｎ≤ｒ≤ｙ
旋转体的体积的积分公式为
（３）
推论１平面光滑曲线（ｃ）：｛。２。ｙ？（。≤ｆ≤，）绕直线ｆ：ＡＴ＋Ｂｙ十ｃ一０旋转一周所成ｌＪ＝Ｙ～ｆ，
Ⅳ＝石Ｆ１｝百可两Ｊ。［Ａｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）十Ｃ３。ｊ＾Ｊ’ｏ）一Ｂｘ’“）Ｊｄｔ
转体的体积的积分公式为
（４）
推论２平面光滑曲线弧（Ｃ）：Ｙ＝，扛），口≤ｔ≤ｙ绕直线ｆ：Ａｘ＋Ｂｙ十Ｃ一０旋转所成旋
佴７一石驴－二簖Ｊ。［＾ｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２
１、Ａ２＋Ｂｚ
’
Ｉ＾，’ｏ）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ
（５）
２主要结论的证明
定理的证明：结论１。在教材“’３］中都有．现证结论２。．Ｖ：ｆ∈［ｎ，６］，给血使ｔ＋Ａｔｆｉ－■，６］，曲
线（Ｃ）上相应于ｔ与ｆ＋出的点的坐标为Ｐｏ，ｙ），Ｑ（ｘ＋△ｒ，Ｙ＋ｎ。，），直接计算得Ｐ，Ｑ在直线ｚ
上的投影Ｐ『，Ｑ’的坐标：
Ｐ，ｆ二墨墅±墨！兰＝墨！．＝墨墨！±墨垒＝墨！、“
Ａｚ＋Ｂ２
叭型业型掣箍掣业，型丝型掣箍ｐ业）
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其中当，ｆｉｔ＞０时取正号；当出＜０时取负号
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