离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
(f g) (g 1 f 1) f (g g 1) f 1 f IB f 1 f f 1 IA， (g 1 f 1) (f g) g 1 (f 1 f) g g 1 IB g g 1 g IC， 在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g) 1 g 1 f
10.设G是集合A到A的所有双射组成的集合，证明
(1)任意f,g G，有f g G.
(2)对于任意f,g,h G，有(f g) h f (g h).
(3)IA G且对于任意f G，有IA f f IA f.
(4)对于任意f G，有f 1 1. G且f f 1 f 1 f IA.
证 (1)由定理5.
(2)由定理7.
(3)由第3题.
(4)由定理4.
11.若A = {a, b, c}, B = {1, 2}, 问A到B的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.
解 将A中的3个元素对应到B中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A到B的满射个数时还需要将B中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A到B的满射共有3 2 6个(请自己分别写出A到B的6个满射).
由于|A| 3,|B| 2，所以A到B的单射没有，进而A到B的双射也没有. 假设|A| m,|B| n.
(1) A到B的满射 若m n，不存在满射；若m n，先将m个元素划分成n个块(参见1.5节)，共有S(m,n)种方式；再将B中元素进行全排列，共有n!种方式，于是A到B的满射共有S(m,n) n!个.
(2) A到B的单射 若m n，不存在单射；若m n，由于B中任意选取m个
m元素，再将其进行全排列都得到A到B的单射，故A到B的单射共有Cn m!个.
(3)A到B的双射 若m n，不存在双射；若m n，此时B中元素的任意一个排列均可得到一个A到B的双射，因此A到B的双射共有m!个.
12.设A, B, C, D是任意集合，f是A到B的双射， g是C到D的双射，令h:A C B D，对任意(a,c) A C,h(a,c) (f(a),g(c)). 证明:h是双射.
证 对于任意(a1,c1) A C，(a2,c2) A C，假定h(a1,c1) h(a2,c2)，即(f(a1),g(c1)) (f(a2),g(c2))，于是f(a1) f(a2)且g(c1) g(c2)，根据