2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数
四川大学2011年硕士研究生考试——高等代数 一、
1、设V 是数域上的维空间，F n (1)i V i s α∈≤≤，1i i i i s W k k α≤≤??=∈????∑F ，证明：W 是的子空间；
V 2、设是数域上的2阶方阵组成的线性空间，V 是由如下四个矩阵生成的的子空间：，，()2M F 1A F 1420()2M F ???=????25103A ??=????3A 3214???=?????
， 42945A ???=?????（1）求和V 的一个基；
()dim V （2）映射为：:f V →F ()()f A tr A =（其中()tr A 是矩阵的迹）， A {}ker ()0f A V f A =∈=，求()dim ker f 并写出ker f 的一个基。
二、设数域满足
,F S ?F S 1、设是上n 维列向量，则()1i i s α≤≤F ()1i i s α≤≤在上线性相关的充要条件是 F (1i i s α≤≤)在S 上线性相关；
2、设，则在上相似的充要条件是在相似；
,n n A B ×∈F ,A B F ,A B S 3、设()f x 为上的n 次多项式，F ()f x 在S 上有n 个根()1i x i n ≤≤，则 ()21i j i j n x x ≤<≤?∈∏F ；
4、证明：S 关于数的加法、乘法是在数域上的线性空间。
F
三、设为任意可逆矩阵，列举至少四种求A 1A ?的方法。
四、设()121p p f x x x x ??=++++L ，其中p 为素数
1、证明：()f x 在数域上不可约；
2、令(){}()0n M A M f A =∈= ，其中()n M 是复数域上的阶方阵组成的集合，如下将n M 中元素分类：若存在中可逆矩阵使()n M D 1A DBD ?=，则同类，问：,A B M 中