5.3自由指标
一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的指标，称为自由指标。
矢径r 的表示： 矢径的三个分量为ri (i=1,2,3)，用ri表示矢径； 同样位移矢量u，用ui表示位移， ij 表示应力 张量。
xi aijyj
x1 a11y1 a12y2 a13y3
x2 a21y1 a22y2 a23y3 x ay ay ay
311322333 3
i 为自由指标，取i=1,2,3 表示三个方程。 5.4克罗内克符号 ij （Kronecker delta）
定义： ij（i,j为自由指标）共有九个分量，i,j各取1—3。
ij
1
0
当i j时当i j时
（i,j 1,2,3)
由 ij 定义9个元素组成矩阵为单位阵：
11 12
21 22 31 32
13 100
010 I 23 33 001
ij符号的应用
1
笛卡尔坐标系的基向量的点积 ei ej
0
i j时
e ， i ej ij。
i j时
由 ij定义及哑标、自由标定义，可得： ii 11 22 33 3
ijaj ai i1a1 i2a2 i3a3 (i)(i)ai
ik kj ij i1 1j i2 2j i3 3j
1 0
i ji j
ij
两个任意向量点积
a b (aiei) (bjej) aibj ij aibi
6