第五章时变电磁场题解
第五章 时变电磁场
5-1 如图5-1所示，一个宽为a、长为b的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B B0sin tey。导体框静止时其法线方向en
与ey呈 角。求导体框静止时或以角速度 绕x轴旋转（假定t 0时刻， 0）时的感应电动势。
解 由于 B B0sin tey，据 e
s
B
ds， t
导体框静止时，
B
abcos abcos B0 cos t t
导体框旋转时，
e B ds B abcos t B0sin t abcos t
ts t te
1
B0ab 2 cos2 t abB0 cos2 t
2
5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z轴分量，并沿y轴按
B Bz(y,t) Bmcos( t ky)的规律分布。现有一匝数为N的线圈平行于xoy平面，以速度v沿y轴方向移动（假定t 0时刻，线圈几何中心处y 0）。求线圈中的感应电动势。 解 据 e v B dl
l
a
设 y1 vt ,
2
a
，则有 2
a a
e Nb v B1 y1 B2 y2 Nb vBm cosk vt cosk vt Nb vBmsin kvt
2 2
y2 vt
5-3 一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度 旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。这一装置称为法拉第发电机。
a2B
试证明两电刷之间的电压为。
2解 由于
d
， dt d ， t，v r dt
第五章时变电磁场题解
则有 e v B dl r B dr
l
a
Ba2
2
5-4 设平板电容器极板间的距离为d，介质的介电常数为 0，极板间接交流电源，电压为u Umsin t。求极板间任意点的位移电流密度。 解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，
U U D 0Um
cos t 则有 E msin t，D E 0msin t，JD eddd
5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为r1 1cm、长度l 0.5m，r2 4cm，
极板间介质的介电常数为4 0，极板间接交流电源，电压为
u 2sin100 t V。求t 10. s时极板间任意点的位移电流密度。 解 对于同轴圆柱形电容器，由于r l，则极间电场强度和电压分别为
r uu
E ，u ， ln2，因此
r2ln42 r2 2 r1
lnr1
4 u1 cos100 t1u1 D4 0 2 100
，D 0 ，J ln4rln4r tln4r
4 0 2 100 er6.81 10 5
J t 1s erA/m2
ln4rr
E
5-6 当一个点电荷以角速度 作半径为R的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。 解 在圆心处，电位移矢量D 由于
qqR
e ， r
4 R24 R3
r
v r e ，则可得圆心处位移电流为 t Dq Rqqq
sin tex cos tey JD R e e
t4 R3 t4 R34 R24 R2
5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a和b，内、外导体间材料的的介电常数为 、电导率为 ，在内、外导体间加低频电压u Umcos t。求内、外导体间的全电流。
q
， 4 r2
uab1 uab1q 11 qb a
，D 电压 u ，则有E
b arb ar24 ab 4 ab
uab1 Umab1
2 cos t 2 因此，传导电流密度 Jc E
b arb ar
解 对于球形电容器，极间电场强度为 E