人教版必修四课件
正切函数的性质与图象(1)
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一.正切函数的性质
1.定义域 : x | x k , k Z ; 2 2.值域 : R.3.周期性 : 正切函数是周期函数, 周期是 . 4.奇偶性 : 奇函数.
5.单调性 : 在开区间 k , k k Z 2 2 内都是增函数. k 6.对称性 : 对称中心是 ,0 . 2
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二.正切函数的图象y
y tan x
2
2
o
2
2
x
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正切曲线的图象特征 : (1)正切曲线是被互相平行的直线x
2 所隔开的无穷多支曲线组成, 每支曲线都是上下无 限伸展的. ( 2)正切曲线与直线x
k k Z
2
k k Z 向上,向下无限
接近 , 但始终不相交,即直线x 切曲线的渐近线.
2
k k Z 是正
(3)任意一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点 的距离都是 (即一个周期长).
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例1.求函数y tan x 的定义域, 周期 3 2 和单调区间.
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例2.设函数f x a sin x , g x b tan x 3 3 3 0 ,已知f x 和g x 的最小正周期之和为 , 且 2 f g , f 3 g 1, 求f x 和g x 的 2 2 4 4 解析式. 1 解 : f ( x ) sin 2 x , g( x ) tan 2 x 3 2 3
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例3.确定函数f x sin x tan x , x , 的 3 3 奇偶性, 单调性, 并求它的值域.3 y sin x , y tan x在 , 上都是增函数, 3 3 sin x1 sin x2 , tan x1 tan x2 sin x1 tan x1 sin x2 tan x2 , 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x )在 , 上是增函数, 3 3 f ( x )max 3 3 3 3 f( ) , f ( x )min f ( ) , 3 2 3 2 解:设
3
x1 x2
,
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练习 : 1 sin x cos x 求函数y , x 0, 的 2 cos x 4 最大值和最小值.1 3 解 : f ( x ) tan x , 2 4 1 3 当 tan x 时, ymin ;当 tan x 0或者1时, ymax 1; 2 42
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x 例4.设函数f x tan . 2 3 (1)求函数f x 的定义域, 周期和单调区间. ( 2)求不等式 1 f x 3的解集. (3)作出函数y f x 在一个周期内的图象.5 解 : (1)T 2 , 增区间为 2k , 2k , k Z , 3 3 4 ( 2)解集: x | 2k x 2k , k Z 3 6 (3)
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练习 : 设函数f x tan x , 0, 0
, 2 已知函数y f x 的图象与x轴相邻两交点的距离 为 , 且图象关于点M , 0 对称, 求f x . 2 8 解 :T
2
, 2, f ( x ) tan 2 x
函数的图象关于点 , 0 对称, 8 2 k 或 2 k , k Z , 2 8 8 3 即 k 或 k , 0 , 4 4 2 只能取 , f ( x ) tan 2 x 4 4
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x 练习 : 设函数y tan 2k 1 , k N * .当x在 5 任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时 至少有两次失去意义, 试求k的最小正整数值.