第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40
页重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义：E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1
若X连续，则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1
x
Y g( X )时，E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx
Z g( X , Y )时，E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j
x
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
2.中心 矩
定义2 设X 是随机变量，则称
k ( X ) E X k 为X 的 k 阶原点矩。 显然：v1 E ( X )k
k ( X ) E X E ( X ) 3.原点矩与中心矩的关系
为X 的 k 阶中心矩。
r阶正负降，不够阶凑； 1
1 E[ X E ( X )] 0 系数末了r 1,中间组合数 2 2 12
4 4 4 3 1 6 2 12 3 14
3 3 3 2 1 2 13
例题
第九讲 均值、矩与方差
设随机变量X服从e( ),求X的k阶原点矩及三阶、四阶中心矩 e x , x 0 解 X的概率密度为f ( x ) x 0 0, X的k阶原点矩为
k (X) x t
0
x ek
x
dx
0
x k e x dx
( k 1) k! v 1 , v 2 , v 6 1 k t k 0 t e dt k k 1 2 2 3 3 3 3 3 2 1 2 13 X的3阶中心矩为
X的4阶中心矩为 4 6 2 3 4 4 4 3 1 2 1 14! 3! 1 2! 1 2 1 4 9 4 4 3 6 2 ( ) 3 ( ) 4
3! 2! 1 1 3 2 3 3 2 2( ) 3
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式一、方差与标准差1.定义 背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。 因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无 法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是 (万元)25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千 元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起多 数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自己的 年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。
本例说明，均值只代 表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中， 二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它 作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式离差与偏差定义 随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即 X E X 离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作 D X .
D( X ) E X E X
2
标准差
随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量X 的 标准差或均方差，记作σ(X),即
( X ) D( X )
或
D( X ) 2 ( X )
说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距 2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一 致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{ X E ( X ) 2 } E[ g( X )]
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式 2
离散变量X : D( X ) E[ g( X )] xi E ( X ) p( xi )
连续变量X : D( X ) E[ g( X )] 2
i 1
二维情况下的离散变量 : D( X ) E[ g( X )] X2 i j
x E ( X )
2
f ( x )dx
xi E ( X ) PX ( xi ) xi E ( X ) p( xi , y j )
同理：D(Y ) E[ g(Y )] yi E (Y ) p( xi , y j )i
2
二维情况下的连续变量 ：D( X ) E{[ X E ( X )]2 } X
i
j
x E ( X )
2
f X ( x )dx 2
x E ( X ) 2 f ( x , y )dxdy
同理：D(Y ) E{[Y E (Y )] }
y E(Y ) 2 f ( x, y)dxdy
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式用均值计算方差定理:证明： D( X ) E X E ( X ) 2 E X 2 2 XE ( X ) E ( X ) 2D( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2
E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) E ( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2
2
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量 X ~ P ,求方差 D(X )。 m m 解 P X m e m 0, 1, 2, . E ( X ) m e m! m! m 0 m 1 k m 1 m k e k 1 E X 2 m2 e e m m 1 ! m! m 1 k! k 0 m 0 k 1 k e e e e 1 k 1 k 1 ! k 0 k !
2 实际上，D( X ) u2 v2 v1 E ( X 2 ) E 2 ( X )
2 2 D( X ) E X 2 E ( X ) 1
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式设随机变量 X ~ U [a , b] ,求方差 D(X )。 1 , a x b;
解 其密度函数为 f x b a 0, 其它. 2 b x a b E X 2 b x dx a 2 ab b 2 E( X ) dx . a b a a b a 2 3 2 a 2 ab b 2 (a b) 2 ( b a ) 2 2 D( X ) E X E ( X ) 3 4 12 例题10-1-3
例题10-1-2
设随机变量X服从指数分布 ~ e ,求其方差与标准差 X e x , 解 其密度函数为 f x 0, x 0; 其 它.
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式 E X
E ( X ) 0 x e2
x x
dx dx
1
0
x e22
t x 1
2
2
0
t e dt 2 t2
3
2
2
D( X ) E X
4.方差性质 1.定理(1、2) D aX b a D( X ) = 2 证明 D aX b E aX b E aX b 2
1 1 E ( X ) 2 2 2
2
E a X E ( X ) a E X E ( X ) a D( X )2 2
E aX b aE( X ) b E a X E ( X ) 2
22
2
2
推论：D(C ) 0, D( X b) D( X ),3) D(aX ) a 2 D( X ) 1. 2 )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式定理3若X、Y独立，则D ( X Y ) D( X ) D(Y )
证明：D( X Y ) E[( X Y ) 2 ] [ E ( X Y )]2 - E ( X 2 Y 2 2 XY ) [ E ( X ) E (Y )]2 E ( X 2 ) E (Y 2 ) 2 E ( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2 E ( X ) E (Y ) X、Y独立， D( X Y ) [ E ( X 2 ) E 2 ( X )] [ E (Y 2 ) E 2 (Y )] 2 E ( X ) E (Y ) 2 E ( X ) E (Y ) D( X ) D(Y )同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3,用归纳法可以证明以下推论 n ni 1 i 1
推论：若X 1 , X 2 , , X n 独立，则D( X i ) D( X i ).
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式例10-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ,标准差为 ( X ) X E( X ) E , 证明： ( Z ) 0, D( Z ) 1 设随机变量 Z (X ) 证
X E ( X ) E X E ( X ) E ( X ) E ( X ) 0 E( Z ) E (X ) (X ) (X) X E ( X ) D X E ( X ) D( Z ) D 2(X ) (X) D( X ) 2 ( X ) 2 2 1 (X ) (X )
Z : X 的标准化的随机变量。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式例10-1-5. 二项分布均值与方差
设X ~ B( n, p),求变量X的均值与方差解：由已知概率： p( x ) C nx p x q n x , x 0, 1, 2, n, p q 1. E X np 0, 1,
注意到X : 是n次独立试验A发生的总次数，故设X X ii 1
n
其中： X i
第i次 试 验 事 件 不 发 生 ； A 第i次 试 验 事 件 发 生 。 An i 1
i 1,2, , n
则n次试验中事件 A 发生的次数为： X X i . 且X1, X2,…Xn相互独立， P X i 0 q; P X i 1 p. 则E X i 0 P X i 0 1 P X i 1 p,
n X n E X np. D X npq E X E i i i 1 i 1 2 E X i 0 2 P X i 0 1 2 P X i 1 p,
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
D X i E X i2 E X i p p 2 p 1 p pq,2
例10-1-6 (2000) 设随机变量 X 在区间[-1,2] 上服从均匀分布, 1 , X 0 随机变量 Y 0 , X = 0 -1. X 0 求方差 D ( Y )。 3 分析：用公式 (Y ) E (Y 2 ) E 2 (Y ), E (Y ) yi P ( yi ) Di 1 3 3
n X n D X npq. 由于X1, X2,…Xn相互独立，则 D X D i i i 1 i 1
E (Y 2 ) E ( g (Y )) g ( yi ) P ( yi ) yi2 P ( yi ), 关键是求P ( yi )i 1 i 1
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式因随机变量 X 在区间[-1,2] 上服从均匀分布,则 1 - 1 x 2; , f x 3 0, 其它. 01 1 P (Y = -1) = P ( X 0) dx = , P (Y = 0) = P ( X 0) 0, -1 3 3 21 2 P (Y = 1) = P ( X 0) dx = , 0 3 3 1 2 1 E (Y ) = (-1) + 0 0 + 1 = , 3 3 3 1 2 2 2 2 2 E (Y ) = (-1) + 0 0 + 1 = 1, 3 13 8解
D(Y ) = E (Y 2 ) - [ E (Y )]2 = 1 ( )2 = . 3 9
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式例题10-1-7. 几何分布 概率函数
X ~ G ( p)( x 1,2, , p q 1)m 1
p( x ) pq x 1m 1
E ( X ) mpqm 1
p mqm 1
而
m 1
q
m
q 1 q
∴
m 12
mq m 1 2
1 (1 q ) 2m 1
1 p2
∴ E( X )
1 p
E ( X ) m pqm 1
p [( m 1)m m ]q m 1m 1
p ( m 1)mq m 1 p mq m 1m 1 m 1
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式m 1 而 q m 1
q2 1 q
( m 1)mq m 1 [ m 1
m 1
q2 q m 1 ] [ ] 1 q
2q q 2 ( 2 2q )(1 q ) 2 2(1 q )( 2q q 2 ) [ ] 2 (1 q ) (1 q )42 2q 2q 2q 2 4q 2q 2 2 3 3 (1 q ) p
E ( X ) p ( m 1)mq2 m 1
m 1
p mqm 1
m 1
2 1 2 p p
2 1 1 q D( X ) E ( X ) E ( X ) 2 2 2 p p p p2 2
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式 常用分布的期望与方差列表0 -1分布X ~ B(1, p)
E( X ) p E ( X ) npE( X ) 1 E( X )
p
D( X ) pqD( X ) npq
二项分布 X ~ B(n, p) 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布
X ~ P ( )X ~ G( p)X ~ H ( n, M , N )
D( X ) q D( X ) p 2
E ( X ) nMN
D( X ) nM ( N 2 M )( N n)N ( N 1)
X ~ U [a, b]
a b E( X ) = 2
(b a ) 2 D( X ) 12D( X ) 1
X ~ e( )
E( X ) =
1
2
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式例题10-1-8(2001)设二维随机变量( X ,Y )在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形 区域 G 上服从均匀分布,求随机变量 U=X+Y 的方差. 解 2, ( x , y ) G f ( x, y) 0, ( x , y ) G E (U ) E ( X Y )
4 2 ( x y )dxdy = 2 dx ( x + y )dy = , 0 1- x 3 G 2 2 = ( x + y)2 f ( x, y)dxdy E (U ) = E[( X + Y ) ]1 1
=
( x + y ) f ( x, y )dxdy
x y 1
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式 1 1 11 2 2 2 ( x y ) dxdy = 2 dx ( x + y ) dy = , 0 1- x 6 G 1 2 2 D(U ) = E (U ) - [ E (U )] = . 18 例10-1-9(2008,4分)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{ X EX 2 } ______ 分析：由X服从泊松分布得 EX DX 1, 且
EX 2 DX [ EX ]2 2 2, 于是： 2 1 1 2P{ X EX } P{ X 2} 2! e 2 e
例10-1-10(1995,4分)
设X表示10次独立重复射击命中目 标的次数，每次射中目标的 概率为0.4,则X 2的数学期望E ( X 2 ) _______.
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式分析：根据题目已知，X服从二项分布B(10,0.4), 由二项分布均值方差得 EX np 4, DX npq 4 0.6 2.4,由方差公式：
E ( X 2 ) DX [ EX ]2 2.4 16 18.4例10-1-11(2010,4分)设随机变量X的概率分布P{ X k } 则E ( X 2 ) ________.分析：由题目已知，联 想到泊松分布 P{ X k }
C , k 0,1,2. k!
kk!
e , 0,1,2, 。且：
kk!
e
k 0
由概率函数的规范性 P ( X k ) 1:k 0