数学建模数与学实验非线性规划
勤工后程院数学教学研1
室
实验的1、目直了观解非性线划规的本基容。
2内掌握、数学用软求件优解化问。题实内验容、非线1规划的基性理本论。、2用学数软求件解线非规性划。 、钢3管订购及运优输模化 4、型验作实。业
2
线性非规划非性线规的划基本概
*念线性规非的基本解划法回返
非现性规划3的基本概 念定 如果目标函义或约数条束中件至少一有个是线非性数函 时最的优问题化叫就做非性线划规题.
问一般形:
m式in f X
gi X 0 i1, ,2.., . ;m s. t. 1() h j X 0 j 1 2,,... l., 其 中X x1 ,x2 , , x n T En f, g,i, h 是定义j在E 上的n实函
数，简记值:f E:n 1E gi,: E n E,1 h j: En E 1其它情况 :求目 标函数的大最或约值条束件小为于于等零的 情，都况通可过其相取反化数为述上般形式.一4
义1定把满足 问题1)(条件的解中X ( n E称)为可行(或可行 点),所有解可行的点合称集为行可集或可行域).记为D.(即 D X | ig X 0,h j 0, XX E n 问 题1(可简)为记mi nf X .
X D
对问题(于),1设X * D ,若存在 ,0得对一使 切且 ，X X * 都，有 Xf* f X ,则称X 是f(X)在D*上的 X 局部D极值点(小局部优最解.特)别当地X X*时， 若f X *f X , 则称*Xf是()X在上D严格的局极部小值点(格局严部最优解) 定.2义
定义 3对问于题(1), 设X* D ,对任 意的X D ,有 都 Xf * f X 称X则*f(是)X在D的全局上小极值点(局最优解).特全别当地* 时 ，若* ,则 X*是f(称X在D)的上格严全极小局值点 XX fX f X (格全严局最解)优 .返回5
非线规性的划基解法本SUT外M法1点、函罚法数SU M内T法点(障罚碍函数)
法2近似、划法返规6回
罚函数 法罚数法基本思函是通过构想造函罚数把约 束题转问为化一系列无约最优束化问，题进而用约束无优化最法方求解.这去类法称方序为无约束列小化方最法简称.为USMT
.法其为S一UMT外法点，其为SUM二T内 法点.7
STM外点U法对一的非线性规划：般m inf X
gi X 0 s .. t h j X 0m
i 12,,... ,; mj ,2,.1..l,.l(1)可:设T X, M f XM mni0 g, iX 2 M h j X 2 i 1 j1(2
)将题(问转化)为无约束问：题min T X , M 1 X En3()
其中T(,M)称为罚X数函M称为罚，子，因M带项称的罚为，项 里的罚这函数对只满足约束不条的点件实行惩罚当： D 时 ,满 X 足 各i X 0, h iX 0,故 项=0,不罚受罚.当 D惩时， g gX i X必 有 0 或h Xi 的约0条束件，故罚项0,要受惩罚>8
SUT.M外点法罚(数法)函的迭代骤步1 任意给定、始点初0X取，M>11,定给允误许差 ,令k=1;0 min T X , M T ( Xk ,M k )
mi 2、求n约束极值无题问 XE n T X ,M 的优最，设为Xk解X=M()k即，k3、 若在 i存 1 i m,使 ig X 则取Mk>,M( Mk 1 M , 01)X E n;
kk=令+1k返回2)(否则，,停止代迭.得最优解X * Xk. 算计时可也收将敛性别准则 判 i Xg
改 为M inm 0, g i X 2 0. i1m
罚函数法的缺是点：每个似最优解近Xk往往不容许解是而只，近似能足满束约在，实问题际中这种结果能不能使用可；在解 一列系无约问题中，计束算太量，大特是别着随Mk增大的， 能可导错误.致
9UST内M点法(碍函障数)法
考虑题问：
imn fX s .. t g X 0
i i 1,2,.., m.
()1设合集D 0 X |g i X 0 i 1,,,2 ,m D, 0是可域中 行所有严内格点集合的构造。碍函障 I 数X , :Ir X , r f X r lg i nX 或 I X( , r ) (fX r) i 1 i 1 m m1 gi X 其中称r ln i g X或 ri i 11m
m
1 障为碍项r,障为因子 gi碍
XX D 这样问(题)就转为化求一系极列1 值问题 ： k mn0 I iX ,kr 得 X (kr)10
内法点的迭代步骤(1)给定 许误差允 0取r1, 00, ;10
2()求出约束 集 合D的一个内点 (3X) 以 ,令kD ;10 XD 00
Xk 1 D 0为 始 点 ， 求 解初mi n I ,Xr k, 其 中
kX D的 优最，解为设X X rk D;
01 , (满4)检 验否是满足 r n l ig X 或k r i 1 i 1 g X i * k ,足停止迭，代X X ;否取则rk 1 r k 令，k k 1 , m km返回(3). 1
1
近似划规法近似划规法基的思本想：问将题()3中的标目函 f 数
和X束约条 g件i X (0i 1.,..m); ,hj X 0( j ,1, l) 近似为线性数，函对并变的取值范围加量以限，从制
而得到个一近线似性规问题，划用单再纯法求解形之把其符，原始条件合的优最解作(3为的解的近).似 得到一每个似近后解，都从这点出发重复，上以骤步 这样，通过求解.系一列性规线问划，题产一生个 由性规线划优最解组成序列，经的表验，明这样序的列往往收敛于 线非规性划问的题解。12
近似规划的算法法步如下骤 11) (定给始初行可 X 1 点 x
1 ,1x , ,x 1 步长，限 制 1 j 1, ,n , 2 nj 步缩小长系数 01, 允许，差 ，误令 k=;1(2)
在点 Xk 处，将f X , g i X , h j X 按泰 级勒数开并
取一阶展似，近得近到线性规似划题问m:i nf X fX i i f X XX g X g X g X X X 0 k kTk k kTk i
i 1 ,, m h j X h j k X h j X
k X X 0T k j1, l,;1 3
(
)在3述上似近线性划问题的规基础上加增一限制步长的组 线性约条束件.因为性线似近通常在展只开点近附似近度程较 x j x k k j j高 ，需要对变量故取值的围加范以限，制 增加的约束条所是：件 j , 1 ,n X k1求解 线性该规划问，得到题优解
最；(4
)X 检验X k 1 点原对束约是可否行若 。k 1 原对束可约，行则转步骤5);(否则缩，小长限制步，令
k k j 1 , , n , j j
回返骤(步3,)重解当的线前规性划问题；X ) 判断5精度： j 1, , n , 若 则点 jkk 1
近似最为优；解14 返回否，令 则 k 1 k j 1 , n , ,=kk+1,回返步骤(2) j .
j1二、规次划准型标为：Mi Z= 1 nXTX+HTXc
2.st A.X<=
Aeqb beXqVL≤XBV≤B U用MTALB软件A解求,其入输格式下如:1 2..3 . 4. 5 6..7. 8.
=xuqaprodg(H,,C,A); bx=qudapog(Hr,C,Ab,,eq,Abe); q=quadpxrog(,CH,,bAA,q,ebq,eVLBVUB,) ;=qxuaprod(HgC,,Ab, ,eA,beq qVL,BV,U,BX0); =quxdproa(H,C,gAb, ,Ae,bqq ,eVBLVUB,X,,opti0os); [x,nfavl]qu=paro(...); g[x,fvale,xtfliga=quapro]g(...); 15[x fv,al,xitelagf,utpout=]qaprugo...(;)
mn f(xi1x2,)-=2x1-x62x12-+x12x+22x2 2s..t 1+xx≤2 -x1+22x≤22 x≥1,0x ≥02T x1 2 1x 1写成标准形式、:in zm ( ,x x ) 1 - 1 例1
21 1
2 x2 6 x 2
s. .t
、 2入输令：命
1 1x 1 2 12 x2 2 0 x 1 0 x2 H=1 [1- ;-1 ]; c=[22-;-6 ;]A=1 [1; 1- 2];b=2[;2;]Ae =[q;]be=[]q; VBL[0;0=]V;BU=];[[x,z ]=uaqprdogH,c,(,bAA,e,beq,qVLBV,B)U3、算运结果为 x: =.6066 1.73333MATLBAyo(u1)
h =z- 822.2216
标准为： 型mni (F)X s. tAX=b< GX(0) Aeq X beq C e(X)=q0 LVB X UB
2V一、非线般规性
其中X划为维变n向量，元(GX)与eCq()均X为线性函非组成 数的向，量它其变量含的义线性规与划二、规次中划同.用相M taal求解b上问述，题本基步骤三分步 1.: 先建首M文件立ufnm,定.目义标数函(XF:)f unctoi f=fnunX();f =(F)X; 0 2. 若束约条中件有非性约束线:(GX)或 Ce
q()=X,0则 立建M件no文nlco.mn定函数义GX()Ceq与X)( f:nuciot [nGC,qe=]nonclno(X)G=... Ceq=. ..
71
. 3建立程序.主线性规划非求的解数函fm是inonc命令的,本格基 如式： 下1( x=)finmcn(‘oufn,’0,XAb,) (2)x =mifcno(‘nunf’,0,XAb,A,qe,be)q(3) x f=mnioc(n‘fu’,Xn,0Ab,, Aq,ebqeVL,,BVB)U() x=4finmcon‘f(nu’X0,A,b,,eA,bqe,qLBVVUB,’,nnocol’n )5)(x=mincfo(n‘fn’uX,0,,bAAeq,beq,,VB,VUBL’n,onloc’n,potonsi)出极输点值
文件
M代的迭值
变初量上下限
数说明参(6)[ xf,val]=f micnon.(.). 7( )x,[fvl,axetfilga= fmi]ncn(o... ())[8,xvfal,xietlag,outpuft]= mifconn.(..)18
意注：[]1f mnionc数函供了提大优化算法和型中优型算化。默认 时法若在，fnu函数提供中了梯(度poitnos数的G参rdabj设置 O’on’)为，并且有只上下存在或界有只式等束约fm,icon函n 数将择大选算型法。当既有式约等束又梯度约束时，使用有中型算法 。[ ]2fm icno函n数的中算法型用使是的序二次列规法。在划 每步迭一中求解代次规划二问题，并用B子GF法S更新格朗日拉 essian矩阵。 H3][ mfincno函数可能给出会局最优解，这部与初值X的0取选有 。1关9
2例
12 2 1mni f x 1 2 2 x 1x x2 2 2x21+x3 2 s6t. x+4x1 2 5 1,x2x 0 、写1成标形式：准1 2 1 mi2n f x 1 x22 x 1 x2 2 2s.t
. 2 x1 3 2x 6 0 x 1 4x 52 0 0 x1 0 2 x
02
2、先立建M-文件fun 3m: .uncftinof= fun3(x) ;f-x=1()-2x*2)(+1(/2)x(1)^2*+(/1)*2(x)22^、3建再主程序you立h2.m: x=01[1;;]A=[ 3 ;12 ]4; =b6;[5] Ae;=[q;b]q=[]e;V B=[L;0]0 VU;=B];[[ xfval,]=minfcno'f(un3,x',A0,,bAe,qeb,VLBqV,B)U 4运算结果为、:x = .7647 1.05088 valf = 2.0-29 M4ALABTy(ou2)
h21