二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
07:18
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+k
3)y=a(x-h)207:18 2
2 请说出二次函数y=ax² +k与y=ax² 的平移关系。y=a(x-h)2与y=ax² 的平移关系 将抛物线y=ax² 沿y轴方向平移k个单位,得抛物线 y =ax² +k 上+下-
将抛物线y=ax² 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线y=a(x-h)2 左+右3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 y=2x2 +3 如何 由y=2x2 平移而来 拋物线y=2x2向右平移3个单位得y=2(x-3)2 拋物线y=2x2向上平移3个单位得y=2x2 +307:18 3
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2 y=ax2+k
07:18
画出函数
y
1 2
(的图像.指出它的开口 x 1) 12
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表x1 2 y ( x 1) 1 2
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
… -5.5 -3 -1.5
-1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
画图07:18 5
解: 先列表xy ( x 1) 1 22
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
1
… -5.5 -3 -1.5
-1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点、连线 (1)抛物线y 1 2 ( x 1) 12
1
y
的开口方向、对称轴、顶点? (2)抛物线 yy 1 2 x2
1 2
( x 1) 12
有什么关系?07:18
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 直线x=-1 -9 6 1 -10 2 y ( x 1) 12
可以看出,抛物线 y 对称轴是直线x=-1,
1 2
( x 1) 1 的开口向下,2
1
y 4 5 x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 顶点是(-1, -1). -1 1 -2 y ( x 1) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2 向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10 平移方法2: x=-12
y 07:18
1 2
x
2
向左平移y 1 ( x 1) 2 向下平移 2 1个单位 1个单位
y
1 2
( x 1) 12
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同, 位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以 得到抛物线y=a(x -h)2+k.平移的方向、距离要根 据h、k的值来决定. 平移方法: 2 向左(右)平 2 向上(下)平 y=ax y=a(x-h) y=a(x-h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k
07:18
移|k|个单位 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向左(右)平 y=a(x-h)2+k 移|h|个单位
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向3.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)(h,k)直线x=h由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)(h,k)
顶点坐标对称轴 位置 开口方向
直线x=h由h和k的符号确定
向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性07:18
最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k. 9
1.完成下列表格:二次函数 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5y=-3(x-1)2-2
直线x=-3 (-3, 5) 直线x=1 ( 1 , -2) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , -6 )
y = 4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6
2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?07:18 10
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最值各是 什么及增减性如何？。
y= 2(x-3)2+3 y= 2(x+3)2-2 y= 2(x-2)2-107:18
y= 3(x+1)2+1
各种形式的二次函数的关系左 右 平 移
y = a( x - h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k上下平移
y = a(x - h )2左右平移
y=
ax2
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。07:18 12
如何平移：y 3 4 ( x 1)2
y
3 4
( x 1) 22
y
3 4
( x 3) 32
y
3 4
( x 5) 22
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1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C2 2
)
牛刀小试
A. y 2 x 2 B. y 2 x 2 2 1 2 C. y ( x 2 ) 2 D. y 5( x 2) 6 2 2.抛物线 y 2 ( x m ) n2
的顶点坐标是( C
)
A. ( m, n )
B.
( m, - n ) ( m, - n )
C.
( m, n )
D.
3. 抛物线 y 5( x m n ) 2 n m 的对称
轴 直线x=n-m .07:18 14
灵活变通若二次函数 y
经过平移变换后顶点坐标为 2 1 2 (-2,3) ,则平移后的函数解析式为 y ( x 2 ) 3 . 2
1
x
2
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x 2 不动,
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 y 2 ( x 2 ) . 22
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(1)与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点 是(-2,3) 的抛物线是________ (2)顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物 线是______ (3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称 后的抛物线是______
(4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称 后的抛物线是______07:18 16
二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实 数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上
对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常 数,点( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)在抛物线上，试 比较y1,y2,的大小
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能力提升抛物线 y x2
如何平移得到 y x 2 x 2 ?2
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴及最值 (1) y 2 x 8 x2
(2)
y 2 x 4 x 82
思考抛物线 y a x07:18
2
如何平移得到 y a x b x c ?218
其中 a 0
1、 掌握函数
y = ax
2
到函数 y = a( x - h )2 + k 的平移变换
2、 函数
y = a( x -
h) + k 的
2
顶点坐标,
对称轴, 最值
07:18
例.要修建一个圆形喷水池,在池中心 竖直安装一根水管.在水管的顶端安 装一个喷水头,使喷出的抛物线形水 柱在与池中心的水平距离为1m处达 到最高,高度为3m,水柱落地处离池 中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1,3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 2+3 解得: a=- 3 1 ∴ 0=a(3-1) 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 O 3 2+3 (0≤x≤3) y=-4 (x-1) 07:18 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0) x 320