中考数学易错题
论； ③ 当∠ OPQ=90°,∠ POQ=∠ AOH=30°时，此时△ QOP≌ △ AOH,得到点 A 的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④ 当∠ OPQ=90°,∠ POQ=∠ OAH=60°,此时△ OQP≌ △ AOH,得到点 A 的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论. 解答： 解：① 如图 1,当∠ POQ=∠ OAH=60°,若以 P,O,Q 为顶点的三角形与△ AOH 全等，那么 A、P 重合； ∵ ∠ AOH=30°, ∴ 直线 OA:y= x,联立抛物线的解析式，X kB 1.c om
∴ OH=QP,QP= ∴ A( , ) ,
,AH=OP= ,
∴ S△AOH= ×
× =
. ,2 , . , , .
综上所述，△ AOH 的面积为： ∴ , 故答案为： ,2 ,
解得
或
故 A(
, ) , × = ;
∴ S△AOH= ×
② 当∠ POQ=∠ AOH=30°,此时△ POQ≌ △ AOH; 易知∠ POH=60°,则直线 OP:y= x,联立抛物线的解析式， 得 ∴ P( ,解得 ，3) ,A(3, = ; 或 ) ,
∴ S△AOH= ×3×
③ 如图 3,当∠ OPQ=90°,∠ POQ=∠ AOH=30°时，此时△ QOP≌ △ AOH; 易知∠ POH=60°,则直线 OP:y= x,联立抛物线的解析式， 得， ,解得 或 ，
∴ P( ,3) , ∴ OP=2 ,QP=2, ∴ OH=OP=2 ,AH=QP=2, ∴ A(2 ,2) , ∴ S△AOH= ×2 ×2=2 ;
④ 如图 4,当∠ OPQ=90°,∠ POQ=∠ OAH=60°,此时△ OQP≌ △ AOH; 此时直线 OP:y= x,联立抛物线的解析式，
得
,解得
或
,
∴ P( ∴ QP=
, ) , ,OP= ,
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16. (2013 海门市二模)在直角坐标系中，已知两点 A(﹣8,3) ,B(﹣4,5)以及动点 C(0,n) ,D(m,0) ,则 当四边形 ABCD 的周长最小时，比值 为 .菁优网版权所有
考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质. 专题： 动点型. 分析： 先根据两点间的距离公式求出 AB 的值，再过点 B 作关于 y 轴的对称点 B′ ,过点 A 作关于 x 轴的对称点 A′ , 连接 A′ B′ 分别交 x、y 轴于点 D、C,由两点之间线段最短可知线段 A′ B′ 即为四边形 ABCD 的周长最小值，用 待定系数法求出过 A′ B′ 两点的直线解析式，即可求出 C、D 的坐标. 解答： 解：∵ AB= =2 , ∴ 四边形 ABCD 周长=AB+BC+CD+AD=2 +BC+CD+AD, ∴ 求其周长最小值，就是求 BC+CD+AD 的最小值.过 B 作 y 轴对称点 B′ (4,5) , 则 BC=B′ C, 过 A 作 x 轴对称点 A′ (﹣8,﹣3) ,则 AD=A′ D
点评： 本题考查的是二次函数综合题， 涉及到全等三角形的判定和性质以
及函数图象交点坐标的求法， 解答此题时一定 要注意进行分类讨论. 15. (2006 泰州)为美化小区环境，某小区有一块面积为 30m 的等腰三角形草地，测得其一边长为 10m,现要给这块三 角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 2 +10 或 20+2 或 20+6 m. 考点： 解直角三角形的应用. 专题： 应用题；压轴题；分类讨论. 分析： (1)如图，当底边 BC=10m 时，由于 S=30m2,所以高 AD=6,然后根据勾股定理求出 AB,AC,最后求出三角 形的周长； (2) ① 当△ ABC 是锐角三角形时， 如图， 当 AB=AC=10m 时， 高 CE=6m, 根据勾股定理可以求出 AE=8m, BE=2m, 然后在 RT△ BEC 中，可以求出 BC,最后求出周长； ② 当△ ABC 是钝角三角形时，作 AD⊥ BC,设 BD=xm,AD=hm,求出 x 的长，进而可得出△ ABC 的周长. 解答： 解： (1)如图 1,当底边 BC=10m 时，菁优网版权所有
2
由于 S=30m ,所以高 AD=6m, 此时 AB=AC= 所以周长=(2 = +10)m; (m) ,wW w .x K b 1 .c o M
2
(2)① 当△ ABC 是锐角三角形时，如图 2,当 AB=AC=10m 时，高 CE=6,此时 AE=8m,BE=2m,在 Rt△ BEC 中， BC=2 m, 此时周长=(20+2 )m. ② 当△ ABC 是钝角三角形时，如图 3,设 BD=xm,AD=hm, 则在 Rt△ ABD 中， ×2x×h=30, xh=30, ,解得 或 (舍去) , =(20+6 ) (m) ,
∴ BC+CD+AD=B′ C+CD+A′ D≥A′ B′ 即 A′ 、D、C、B′ 四点共线时取等号 可求出相应的 C、D 坐标， 设直线 A′ B′ 的方程是 y=kx+b(k≠0) , ∴ ,解得 k= ,b= ,故过 A′ B′ 两点的一次函数解析式为 y= x+ ,
∴ C(0, )D(﹣ ,0) , 即 n= ,m=﹣ , =﹣ . 故答案为：﹣ . 点评： 本题考查的是两点之间线段最短及用待定系数法求一次函数的解析式，根据对称的性质作出 A、B 的对称点 A′ 、 B′ 及求出其坐标是解答此题的关键. 17. (2013 黄冈)如图，矩形 ABCD 中，AB=4,BC=3,边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚， 当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为 6π .
故△ ABC 是钝角三角形时，△ ABC 的周长=2×10+3 故填空答案：2 +10 或 20+2 或 20+6 .
点评： 解此题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中.另外要分类讨论.
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考点： 弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质. 专题： 压轴题；规律型. 分析： 如图根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段：① 以 90°为圆心角，AD 长为半径的扇形的弧长；② 以 90°为圆 心角，AB 长为半径的扇形的弧长；③ 90°为圆心角，矩形 ABCD 对角线长为半径的扇形的弧长. 解答： 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，AB=4,BC=3, ∴ BC=AD=3,∠ ADC=90°,对角线 AC(BD)=5. ∵ 根据旋
转的性质知，∠ ADA′ =90°,AD=A′ D=BC=3,菁优网版权所有
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本 题的关键. 19. (2013 牡丹江)如图， ABCD 的对角线相交于点 O,请你添加一个条件 AC=BD (只添一个即可) ,使 ABCD 是矩形.
∴ 点 A 第一次翻滚到点 A′ 位置时，则点 A′ 经过的路线长为： 同理，点 A′ 第一次翻滚到点 A″ 位置时，则点 A′ 经过的路线长为： 点 A″ 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A″ 经过的路线长为： 则当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为： 故答案是：6π.
=
. =2π.
= +2π+
. =6π.
考点： 专题： 分析： 解答：
矩形的判定；平行四边形的性质. 开放型. 根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是矩形)推出即可. 解：添加的条件是 AC=BD, 理由是：∵ AC=BD,四边形 ABCD 是平行四边形，http://www.xkb1.co m ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形， 故答案为：AC=BD. 点评： 本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不 唯一. 20.操作与探索：如图，在△ ABC 中，AC=BC=2,∠ C=90°,将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点 P 处，绕点 P 旋 转.设三角板的直角边 PM 交线段 CB 于 E 点，当 CE=0,即 E 点和 C 点重合时，有 PE=PB,△ PBE 为等腰三角形，此外，菁优网版权所有
当 CE 等于 1 或 点评： 本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质.根据题意画出点 A 运动轨迹，是突破解题难点的关键. 18. (2013 静安区二模)在正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、AD 上，四边形 EFGH 是矩形， EF=2FG,那么矩形 EFGH 与正方形 ABCD 的面积比是 .菁优网版权所有
时，△ PBE 为等腰三角形.
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质. 专题： 计算题. 分析： 根据题意画出图形，如图所示，由对称性得到△ EFB≌ △ HDC,△ AEH≌ △ CFG,且四个三角形都为等腰直角三角形， 再由等腰直角三角形 BEF 与等腰直角三角形 CFG 相似，且相似比为 2:1,得到 BE=BF=DH=DG=2AE=2AH=2CG=2CF,设正方形边长为 3a,表示出 BE,BF,以及 AH,AE,利用勾股定理表 示出 EF 与 EH,进而表示出矩形 EFGH 的面积，即可求出矩形与正方形面积之比. 解答： 解：由对称性得到△ EFB≌ △ HDC,△ AEH≌ △ CFG,且四个三角形都为等腰直角三角形， ∵ △ BEF∽ △ CFG,EF=2FG, 设正方形的边长为 3a,即 S 正方形 ABCD=9a , 则 BE=BF=DH=DG=2a,AE=AH=CG=CF=a, 根据勾股定理得：EF=2 a,EH=
a, 2 ∴ S 矩形 EFGH=EF EH=4a , 则矩形 EFGH 与正方形 ABCD 的面积比是 . 故答案为：2
考点： 旋转的性质. 专题： 操作型. 分析： △ PBE 为等腰三角形，有三种可能：① PE=PB,此时 CE=0;② PB=BE,根据 CE=BC﹣BE 可求解；③ PE=BE,此时 PE⊥ BE. 解答： 解：∵ 在△ ABC 中，AC=BC=2,∠ C=90°,菁优网版权所有
∴ AB=
=2
,
又∵ P 点为 AB 的中点， ∴ PB= , ① 若 PE=PB,连接 PC,∵ PB=PC,∴ C、E 两点重合，此时 CE=0; ② 若 PB=BE,则 CE=BC﹣BE=2﹣ ; ③ 若 PE=BE,此时 PE⊥ BE, ∵ P 点为 AB 的中点，∴ E 点为 BC 的中点，
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即 CE= BC=1. 故答案为：1 或 .
点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，分类讨论的数学思想. 21. (2011 眉山)关于 x 的不等式 3x﹣a≤0,只有两个正整数解，则 a 的取值范围是 6≤a<9 . 考点： 一元一次不等式的整数解. 专题： 计算题；压轴题. 分析： 解不等式得 x≤ ,由于只有两个正整数解，即 1,2,故可判断 的取值范围，求出 a 的取值范围.菁优网版权所有
考点： 反比例函数综合题. 专题： 代数几何综合题. 分析： 设 OM 的长度为 a,利用反比例函数解析式表示出 AM 的长度，再求出 OC 的长度，然后利用三角形的面积公式 列式计算恰好只剩下 k,然后计算即可得解. 解答： 解：设 OM=a,菁优网版权所有
∵ 点 A 在反比例函数 y= , ∴ AM= , ∵ OM=MN=NC, ∴ OC=3a, ∴ S△AOC= OC AM= ×3a× = k=6, 解得 k=4. 故答案为：4. 点评： 本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用 OM 的长度表示出 AM、OC 的长度， 相乘恰好只剩下 k 是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题. 三.解答题(共 7 小题) 24. (2013 河北)如图，A(0,1) ,M(3,2) ,N(4,4) .动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位长的速度向上 移动，且过点 P 的直线 l:y=﹣x+b 也随之移动，设移动时间为 t 秒. (1)当 t=3 时，求 l 的解析式； (2)若点 M,N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围； (3)直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上.
解答：
解：原不等式解得 x≤ , ∵ 解集中只有两个正整数解， 则这两个正整数解是 1,2, ∴ 2≤ <3,
解得 6≤a<9. 故答案为：6≤a<9. 点评： 本题考查了一元一次不等式的整数解.正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的 基本性质. 22.幼儿园某班有玩具若干件分给小朋友，如果每人三件，那么还多 59 件；如果每人分 5 件，那么最后一个小朋友得 到玩具但不超过 3 件，则这个班有 152 或 155 件玩具. 考点
: 一元一次不等式组的应用. 分析： 设这个幼儿园有 x 个小朋友，则有(3x+59)件玩具.根据关键语句“如果每人分 5 件，那么最后一个小朋友得到 玩具但不超过 3 件”得：0<3x+59﹣5(x﹣1)≤3 求解可得答案. 解答： 解：设这个幼儿园有 x 个小朋友，则有(3x+59)件玩具，由题意得： 0<3x+59﹣5(x﹣1)≤3,菁优网版权所有
解得：
<x≤32,
∵ x 为整数， ∴ x=31 或 x=32, 当 x=31 时 3x+59=3×31+59=152; 当 x=32 时，3×32+59=155. 故答案为：152 或 155. 点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，根据关键语句列出不等式组. 23. (2012 河南)如图，点 A、B 在反比例函数 y= (k>0,x>0)的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别 为 M、N,延长线段 AB 交 x 轴于点 C,若 OM=MN=NC,△ AOC 的面积为 6,则 k 的值为 4 . 考点： 一次函数综合题. 专题： 探究型. 分析： (1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； (2)分别求出直线 l 经过点 M、点 N 时的 t 值，即可得到 t 的取值范围； (3)找出点 M 关于直线 l 在坐标轴上的对称点 E、F,如解答图所示.求出点 E、F 的坐标，然后分别求出 ME、 MF 中点坐标，最后分别求出时间 t 的值. 解答： 解： (1)直线 y=﹣x+b 交 y 轴于点 P(0,b) , 由题意，得 b>0,t≥0,b=1+t.菁优网版权所有
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当 t=3 时，b=4, 故 y=﹣x+4. (2)当直线 y=﹣x+b 过点 M(3,2)时，w W w .x K b 1 .c o M 2=﹣3+b, 解得：b=5, 5=1+t, 解得 t=4. 当直线 y=﹣x+b 过点 N(4,4)时， 4=﹣4+b, 解得：b=8, 8=1+t, 解得 t=7. 故若点 M,N 位于 l 的异侧，t 的取值范围是：4<t<7. (3)如右图，过点 M 作 MF⊥ 直线 l,交 y 轴于点 F,交 x 轴于点 E,则点 E、F 为点 M 在坐标轴上的对称点. 过点 M 作 MD⊥ x 轴于点 D,则 OD=3,MD=2. 已知∠ MED=∠ OEF=45°,则△ MDE 与△ OEF 均为等腰直角三角形， ∴ DE=MD=2,OE=OF=1, ∴ E(1,0) ,F(0,﹣1) . ∵ M(3,2) ,F(0,﹣1) , ∴ 线段 MF 中点坐标为( , ) . 直线 y=﹣x+b 过点( , ) ,则 =﹣ +b,解得：b=2, 2=1+t, 解得 t=1. ∵ M(3,2) ,E(1,0) , ∴ 线段 ME 中点坐标为(2,1) . 直线 y=﹣x+b 过点(2,1) ,则 1=﹣2+b,解得：b=3, 3=1+t, 解得 t=2. 故点 M 关于 l 的对称点，当 t=1 时，落在 y 轴上，当 t=2 时，落在 x 轴上.
① 若△ DGP 的面积记为 S1,△ CDG 的面积记为 S2,则 S1﹣S2 的值会发生变化吗？请说明理由； ② 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长.
考点： 四边形综合题. 分析： (1)根据 GF=4cm,正方形 ABCD
的边长为 1cm,将正方形 ABCD 以 1cm/秒的速度沿 FG 方向移动，得出正方 形移动的时间为 x 秒时，表示出 DG 的长即可；菁优网版权所有
(2)① 首先得出△ CDG∽ △ PGA,进而得出 PG 的长，进而表示出△ DGP 的面积 S1,△ CDG 的面积 S2,即可得出 S1 ﹣S2 的值； ② 首先得出∠ GDP=∠ DPG=∠ ADB=45°,即可得出 PG=DG,进而得出 x 的值，求出 PD= 解答： 解： (1)由题意可得出：DG=(4﹣x) ; (2)① 答：S1﹣S2 不会发生变化. 如图 1, ∵ AP∥ CG, ∴ ∠ CGD=∠ GAP, 又∵ ∠ CDG=∠ PGA=90°, ∴ △ CDG∽ △ PGA, ∴ ∴ ∵ , ∴ ② 如图 2, ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BD⊥ AC, ∵ 直线 PD⊥ AC, ∴ 点 P 在对角线 BD 所在的直线上， ∴ ∠ GDP=∠ DPG=∠ ADB=45°, ∴ PG=DG, 即： ,2
,得出即可.
,即 ，
,
,新
课 标
第 一 网
.
点评： 本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质.难点在于第(3)问，首先注意在 x 轴、y 轴上 均有点 M 的对称点，不要漏解；其次注意点 E、F 坐标以及线段中点坐标的求法. 25.如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/秒的速度沿 FG 方向移动，移 动开始前点 A 与点 F 重合. 已知正方形 ABCD 的边长为 1cm, FG=4cm, GH=3cm, 设正方形移动的时间为 x 秒， 且 0≤x≤2.5. (1)直接填空：DG= (4﹣x) cm(用含 x 的代数式表示) ; (2)连结 CG,过点 A 作 AP∥ CG 交 GH 于点 P,连结 PD.
整理得 x ﹣5x+5=0, 解得 ， ,
经检验：x1,x2 都是原方程的根， ∵ 0≤x≤2.5,
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∴ ∴ DG=PG=
, , .
设 AP=x,则 PC=6﹣x,QB=x, ∴ QC=QB+BC=6+x, ∵ 在 Rt△ QCP 中，∠ BQD=30°, ∴ PC= QC,即 6﹣x= (6+x) ,解得 x=2,
在 Rt△ DGP 中，PD= 故答案为： (3﹣x) .
∴ AP=2; (2)当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.理由如下： 作 QF⊥ AB,交直线 AB 的延长线于点 F,连接 QE,PF,X Kb 1.C om 又∵ PE⊥ AB 于 E, ∴ ∠ DFQ=∠ AEP=90°, ∵ 点 P、Q 速度相同， ∴ AP=BQ, ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ ∠ A=∠ ABC=∠ FBQ=60°, 在△ APE 和△ BQF 中， ∵ ∠ AEP=∠ BFQ=90°, ∴ ∠ APE=∠ BQF, 在△ APE 和△ BQF 中， ,
点评： 此题主要考查了四边形的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法， 注意自变量的取值范 围得出 DG 的长是解题关键. 26. (2012 遵义)如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动(与 A、C 不重合) , Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动(Q 不与 B 重合) ,过 P 作 PE⊥ AB 于 E, 连接 PQ 交 AB 于 D.http://www.xkb1.co m
(1)当∠ BQD=30°时，求 AP 的长； (2)当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由.
∴ △ APE≌ △ BQF(AAS) , ∴ AE=BF,PE=QF 且 PE∥ QF, ∴ 四边形 PEQF 是平行四边形， ∴ DE= EF, ∵ EB+AE=BE+BF=AB, ∴ DE= AB, 又∵ 等边△ ABC 的边长为 6, ∴ DE=3, ∴ 当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形. 专题： 压轴题；动点型. 分析： (1)由△ ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知∠ ACB=60°,再由∠ BQD=30°可知∠ QPC=90°,设 AP=x,则 PC=6﹣菁优网版权所有
x,QB=x,在 Rt△ QCP 中，∠ BQD=30°,PC= QC,即 6﹣x= (6+x) ,求出 x 的值即可； (2)作 QF⊥ AB,交直线 AB 的延长线于点 F,连接 QE,PF,由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可知 AP=BQ, 再根据全等三角形的判定定理得出△ APE≌ △ BQF,再由 AE=BF,PE=QF 且 PE∥ QF,可知四边形 PEQF 是平行四 边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB,DE= AB,由等边△ ABC 的边长为 6 可得出 DE=3,故当点 P、Q 运动 时，线段 DE 的长度不会改变. 解答： 解： (1)∵ △ ABC 是边长为 6 的等边三角形， ∴ ∠ ACB=60°, ∵ ∠ BQD=30°, ∴ ∠ QPC=90°, 点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质， 根据题意作出辅助线构造 出全等三角形是解答此题的关键. 27. (2012 丽水)如图，AB 为⊙ O 的直径，EF 切⊙ O 于点 D,过点 B 作 BH⊥ EF 于点 H,交⊙ O 于点 C,连接 BD. (1)求证：BD 平分∠ ABH; (2)如果 AB=12,BC=8,求圆心 O 到 BC 的距离.
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29．（2013 资阳）解方程：．