清华大学大一线性代数
第五章性空间线第节一线性空间二第节线性子空间第节线三空间性的构第四节同 uclid空E间第五节空商间1
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西柯[法].A . LauchC (y7819.-8817.55)
凯莱[]英.A Cayey (18l1.2-189851.)克莱伯[施]德R .F..ACl becsh(18 3.1-1387211.)约当[]法ME.C..J roan (d831.8-1122.9)12
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数中学广与推抽象是都逐完步的成,有都一历个史过,这程个化过变程今在天学的习中也往往能体够现出.来 从维、32维几空间到何般的一维向量n空间 ,再n到加抽更象线的空性间. 先把维从2数,3广推n;到把再元n序有数组广成抽象推的素元把.向量间空推成广了性线空.间高 的抽象度是性广有应用的泛前.提3
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向量间主要研究了空向的量性线系关,对空间整体结构有没行深入进研究.线性 空通过间建基立坐标()来研系空究的间体结整构.线 空性到其间身自映射的线性叫间空变的换,而线变性换是其一中类最基本是最也要的变重换,是线它代性数一个的要主研究对. 象关注要究和解决线研性换主要问题变的思想方,法非常具启有意发义.
4第
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章线五性间空
.15性线空间
5.1线空间性
、一域数定设F义是一个数集.果如满足 (1)F 10 F; (2, F)于对加、减法法乘、、法法(除除数不零)为算运封闭则;F为一个数域称. 我熟悉的 们 , ,都是域.数 F=a+{b 2|,a b} 数是域?吗 是最 数域.小5
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第章五性线间
5.空 1性空间线二线、性间的定空义 nn中维量向的法加及乘数算运满八条足非基常本性质的 . 有还许具有多样两种运这算的合,集而且算也运足满样八这性质条例如,: 1()n矩阵的阶法加数及矩阵运乘.算 ()函数2合集对于数函加及数乘运法算. 把般一规的了定样这种运两且满算足这八样性质条的合集抽成线性象间空.
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五第章线空性间
.15线性空间二、性空间线定的义义定设V一是个空非合, F是一集数个,如果域定了义下如种两算,运并满且足面后列的举八条质,性称则V为域数上F的一线个性间空 1:.法加运:算 , ,V有 + V (;对V法加运封算闭 )2数.乘算运: V , k,F有k V; ( V对数乘运封闭 )算 3八.运条算质:性 , , V, k l,F: 7
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五章线空间性5.1性空线间
() 1 +=+ 交(换律)( 2) + )+ ( =+ (+) (结合律)(3) V, V,+ = (叫零 元,也素记为0 )4) ( V, V使 + = (称为 负的元素,记为-) (5) = 1(6 )(kl )k(=l) (7)k(+ ) =k +k (分 配律 )() (k8l)+ =k+l (配律)8分
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第五章线性空间5.1线性空间 线空间性的例子1例几何间 3=空 (x,, z) y,x,yz 实是域 上的数线空间性 .2例体全
m 实n阵M矩mn(, ),在矩的加阵法数乘及阵矩种两运下构算 成线上性间空.例 3数域F的上次小于n数的体多项全式包 (括零项式)所构成多的合集F[xn],即n 1 i Fn[ x] f(x f)( )x aix, ai F i 0
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五章线空性间5.线1空间
定义多性项式的加及法数两乘运种算下如: (fx ) (gx ) a x i bi x a(i bi) x, ii i
n 1
1n i0 n i 01kf ( x) k a ix ( kai ) x,ii i 0 i 0i 0 n 1n 1
Fn x 则数域是F上的性空线.间同理， xn是实数 域上的线性空间.1
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0第章五线性空间
.51性线间空
线性空间的V简性单质(1)V中向零唯量一,为记 .若假 1 ,2都是的V向零量,那么 1由是零向量有 2,+ =1 2.因 2又是向量零有 ,1 +2 1,=是 1= 1于 +2= + 12 =2 .(2 )V中每个向量的 向量唯一,负为-记 .果如, 都 是 的向负,则量 = + =+ (+ ) = ( + )+ =+ = . 11
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章五线性间空5.1线性空间()3 0= . +由0 1 =+0=( +1) =1 = , 0两同时加边 -,所以 0= . ( -) 1= - . 由+(1-)= 1 (+1-) (1=-)1 0== , 所(以-1 )=- . k = .由+k =(k -1)k k += k(-k1 +) =k(k-1) =,所k以 = . ()4 k =k =0或 =.12
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第五章性线空间51线.空间性
性线空定间义注要意的地方 性空间线的素元一个是象抽符号,不同间空元中素能可表示不很相.同 线性空间的算只运借是了“加法”、用“数乘”的名和符号,称并一定不与通的常法和数乘有什加么关系. 在推证给定运算的何是线几性间空时,算运封闭性运算和质性验证的能使只用时当的定.义 =F( 或 )称时为(复实)线空性.间1
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3第五章线性空间
51线性空间.三、线相/性关无定义1.1 , 2 ,…, n线性相:关不全为 零的1, k2k,…,kn使k 11 + k2 2+…+ kn n=θ.2 ,1 2 ,, …n线无性: k关1 1+…+k sn=θ k1=… =nk= 0.14
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第章五线性空
间.15线性空间3.线性组合:k1 1 k+ 22+ +…k n n F V 4. 能由 , 12,… , n线性出表
: = k 1 1 k+ 22+…+ k nn 5. ,1 2,… ,与 1s,,… t等价
1, … ,t能 1由,…, s性表线出 1,…, s由 能1,…, t 性表线出51
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第五章性空间
线.5线1性空间
理定.5 2 , 12, …, n(n 2 )线相性 关 i可由其的余量线性向出.表理定.35 1,2, …, n线无性 关 ,1 2,,…n ,线性 相关 能由1 , 2…,, n线性表出,并且表的方示是式一的.唯理5.4定.若 1, 2…,, n 可 1,由 2, …, m性表线出, n>且,m则1,
2…,, n线性关相推论.若 1, 2 ,,… n由 可1, 2,…, m线表出性且, , 2,1…, 线n性无,关 m n则16.
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第章五线性间空
.1线5空间性四、基、维数和坐标V V的组基{一 ,1…, }n—线性无—关 ——能 由,1,… 线n表性出V的维数 idV= mn注:dim {}= .01
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五章第线性间空5.线1空性间diVm= 例4 r{ 1 ,…, rn} r={{j 1,,… rj} } V , 1,… s 1} r { j,, 1…, rj性无线关 1 r 1…,, n有极大无 关组 i ,…, iV一有组基1, …,r 11 r 1 rr
j,1,,… r,j ,能 由,i… ,i线表出 性, …i能 由,…,1 r线表性出 1j,,…, r j,, 线性关相 ,… i性相关1 r线i 由 能j,,…1, 表 能由出 …, jr性线出表1r
… r, j为 ,1…, n 1j,,…, V为一的组基极大无关的组 1r81
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五线性空间章51 .性空间线
1 2i…, ir是 , 1 ,2设 i1,…,, r是V一组基的,…, s的一个极大无 1…,, j, j2,…, j 也t是关组, 1t也是的V组一,基 1 ,2,,… 的一s个大极无关,则 (组) 11,,…1,2 …, i线性r无,关i i,线r性无, 关1j,,…j,2 t…, 能 由i1r,性表线出ir线性.示表 . 1 ,能由 tj 1…, , i2,… ,
(2) j1,,,j… t2… ,j t线性关,无 1 ,性线关,无
,r能由能由 j j,…, 1ji,,…,i , i… 1…,, ,线性表t出线性.表示.12 r 2 1
t据前根的面理定.5推论4可知 r=t .19
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第五章线性空
间5.线性空1
例间5 n维本基位单量组 1向 0 0… 1 00
01 e=
, e2
,=,…e=n是 的n一(自组)基然.…
0dim n= n .…1
k1
10… 0+k
2 0… 01+… +kn 00… 1
=k1 2knk20
…
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五第章线性空
5间1线.空性
定义
间1, 2,…, n— V—的一基组 = 1 x1+x 22+…+ x nn(x, x1,2…, x)Tn —在基 1, ,2…, n下的坐标a 1 00例如 b a 0+ b=1+c 0 c 0 1= 0ae1+ e2 b+ ec32
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