第四章 微积分模型
今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。
建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况给的策略不随时间改变)。
4.1 不允许缺货模型
某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为
5000元，每件电器每天的贮存费q(t)1元，优结果。 Q模型假设:
（1）每天的需求量为常数r； （2）每次的订货费用为c1，每天每件产品的存贮费为c2 ；
（3）T天订一次货,每次订QT1Tt件，为0时，立即补充，补充是瞬时完成的；（4）为方便起见，将r，Q都视为连续量。模型建立
将存贮量表示为时间的函数q(t),t?0时，进货Q件这类小电器,储存量q(0)需求r的速率递减，直到q(T)=0。 易见
Q=rT (4.1)
一个周期的存贮费用
C2=
?T0q(s)ds?c2A
一个周期的总费用
rT2 C=c1?c22
每天平均费用
(即所请给出最
Q,q(t)以且当存贮量
?c(T)?c1c2rT? (4.2) T2模型求解
求T，使c(T)取最小值。 由
dc?0，得 dTT?2c1,rc2Q?2c1rc2 (4.3)
上式称为经济订货批量公式。
模型解释
(1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小； (2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。 模型应用 将c1?5000,c2?1,r?100代入(4.3)式得 T=10天,Q=1000件，c=1000元。
4.2 允许缺货模型
q(t)某配送中心为所属的几个超市送配某种
小电器，假设超市每天对这种小电器的需求Q量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即t多长时间订一次货，一次订多少货)。
T1T 如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果。
与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设
（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3 。缺货时存贮量q看作负值，q(t)的图形如图4.2，货物在t?T1时送完。
TT1 一个供货周期T内的总费用包括：订货费c1，存贮费c2?0缺货费c3?T1|q(t)|dt，q(t)dt，
借助图4.2可以得到 一个周期总费用为 C?c1? 每天的平均费用 C(T,Q)?
利用微分法，令
11c2QT1?c3r(T?T1)2 22c1c2Q2c3(rT?Q)2 （4.4） ??T2rT2rT???C??0??T ??C???Q?0可以求出最优的T,Q值为
T'?2c1c2?rc.c3,Q'?2c1rc.c3 （4.5） 2c32c2?c3记
??c2?c3c(?1) 3通过与不允许缺货的模型相比较得到
T'?T?,Q'?Q/? （4.6） 显然T'?T,Q'?Q，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。（4.6）式表明，缺货费c3越大，?值越小，T',Q'与T,Q越接近，这与实际是相符的，因为c3越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当c3???时，??1，于是T'?T,Q'?Q。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。
将所给的数据代入（4.6）式得到 T'?33天,Q'?333件,c?301.7元。
4.3森林救火模型
本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。
从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为t?0，开始救火时刻为t?t1被熄灭的时刻为t?t2。设t时刻烧毁森林的面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁的面积为B(t2)。下面我们设法确定各项费用。
先确定B(t)的形式，研究B'(t)比B(t)更直接和方便。B'(t)是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即0?t?t1，火势越来越大，即B'(t)随t的增加而增加；开始救火后，即t1?t?t2，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即B'(t)逐渐减小，且当t?t2时，B'(t)?0。
救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。
模型假设
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。 (1) 损失费与森林烧毁面
B'(t)积B(t2)成正比，比例系数为
c1，c1即烧毁单位面积森林的损失费，取决于?x??森林的疏密程度
?bt1t2t?，火和珍贵程度。
(2) 对于0?t?t1，火势蔓延程度B'(t)与时间t成正比，比例系数?称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
(3) 派出消防队员x名，开始救火以后，火势蔓延速度降为???x，其中?称为每个队员的平均救火速度，显然必须x??/?，否则无法灭火。
（4）每个消防队员单位时间的费用为c2，于是每个队员的救火费用为c2(t2?t1)，每个队员的一次性开支为c3。
模型建立
根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在0?t?t1时线性增加，在小，具体绘出其图形见图4.3。
记t?t1时，B'(t)?b。烧毁森林面积
B(tt2)??20B'(t)dt
正好是图中三角形的面积，显然有 B(t2)?12bt2 而且
tb2?t1??x??
因此
1b2 B(t2)?2bt1?2(?x??)
根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为c1B(t2)，救火费为算得到救火总费用为
C(x)?1c1b2cbx2c1bt1?2(?x??)?2?x???c3x 问题归结为求x使C(x)达到最小。令
dCdx?0 得到最优的派出队员人数为 x?c1?b?2c2?b2c3?2??? 模型解释
（4.8）式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度增大时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度?、开始救火时的火势数c1增加时，派出的队员人数也应该增加。这些结果与实际都是相符的。 实际应用这个模型时，c1,c2,c3都是已知常数，?,?由森林类型、确定。
t1?t?t2时线性减c2x(t2?t1)?c3x据此计 （4.7） （4.8） ?和救火费用系数b以及损失费用系
消防人员素质等因素c3 4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为q1,q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是q1,q2的函数，记作U(q1,q2)，经济学中称之为效用函数。U(q1,q2)?c的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动，U(q1,q2)的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者的偏爱情况。这里假设消费者U(q1,q2)，即无差别曲线族已
设甲乙两种商品的单价分费者有资金s元。当消费者用商品时所作的选择，即分别用应该使效用函数U(q1,q2)达到
QQ'q2s/p2U(q1,q2)?c对甲乙两种商品的效用函数经完全确定了。 别为p1,p2元，消这些钱买这两种多少钱买甲和乙，最大，即达到最大
s/p1q1的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者
均衡。
当消费者购买两种商品量为q1,q2时，他用的钱分别为p1q1和p2q2，于是问题归结为在条件
p1q1?p2q2?s （4.9） 下求比例p1q1/p2q2，使效用函数达到最大。
这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足
p?U?U/?1 （4.10） ?q1?q2p2
当效用函数U(q1,q2)给定后，由（4.10）式即可确定最优比例p1q1/p2q2。
上述问题也可用图形法求解。约束条件（4.9）在图4.4中是一条直线，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图4.4中的Q点），则q1,q2的最优值必在切点Q处取得。
图解法的结果与（4.10）式是一致的。因为在切点Q处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为?p1/p2，曲线的斜率为?经济学中
?U?U/，在Q点，利用相切条件就得到（4.10）式。 ?q1?q2?U?U,称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）?q1?q2式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U(q1,q2)。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：
条件A ：
U(q1,q2)?c所确定的一元函数q2?q(q1)是单调递减的，且曲线是呈下凸的。
条件A是无差别曲线族U(q1,q2)?c的一般特性，这个条件可以用下面更一般的条件代替。
条件B：