???3≤ 3?2(a?b)?ab ≤ 3,①? 即?2??32≤ 3?2(a?b)?ab ≤ 3,② ………6 ?22?3???32≤ ab≤ 2.③①+②，得
?92≤ab≤?32，……………………………8分 又由③，得 ab=?32， 将上式代回①和②，得 a+b=0, 故f(x)=x3
?32x. ……………………9分 (III) 假设OA⊥OB,
即OA?OB=(s,f(s))?(t,f(t)) = st+f(s)f(t)=0, ……………10分 (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2
]=-1, ……………………………………11分 由s，t为f?(x)=0的两根可得， s+t=
213(a+b), st=3, (0
=9. ……………………………………12分
这样(a+b)2=(a-b)2
+4ab =
9ab+4ab≥236=12， 即 a+b≥23,
这样与a+b<23矛盾. ……………………13分
故OA与OB不可能垂直.
解：(1)g(x)=m?x22x?m(x?1)2125.?m??lnx,g??x???x???24.
xx2x2即m≥1时，g′(x)≤0,g(x)在[1,2]上单调递减，
42 26
∴g(x)max=g(1)=2m-1-ln2.
22
所以m≥1时，g(x)max=2m-1?ln2；
42(2)因为函数y=log1[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则其导数在[1，+∞）上恒小于
3等于零. 所以
??m?x2?
?y??[8?f(x)]?????m?x2?8?f(x)x??8?x/3/3log1elog1e
?x2?mlog1e?0恒成立. 2xx?8x?m3??
2
因为log1e<0，所以
32因为??x?m?0,x?mx2?m?0在[1，+∞）恒成立. ?0在[1，+∞）恒成立.即22xx?8?mx?8?m???2??x?8x?m?02在[1，+∞）上不恒成立,所以??x?m?0,?2??x?8x?m?0在[1，+∞）上恒成立.
2得??m??x?2??m?x?8x在[1，+∞）上恒成立. 所以-1≤m<9.
（本题也可用复合函数进行处理）
26.解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
27