3.1 恰当微分方程 我们可以将一阶方程
dydx?f(x,y)
写成微分的形式
f(x,y)dx?dy?0
或把x,y平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 (13)
这里假设M(x,y),N(x,y)在某矩形域内是x,y的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求方程的通解.
如果方程(13)的左端恰好是某个二元函数U(x,y)的全微分,即
M(x,y)dx?N(x,y)dy?dU(x,y)??u?xdx??u?ydy (14)
则称(13)为恰当微分方程.
容易验证,(13)的通解就是U(x,y)?c,这里c是任意常数. 3.2恰当微分方程解法的应用 例4
yxdx?(y?lnx)dy?o.
3解 这里
M(x,y)?yx,N(x,y)?y?lnx,
3于是
?M(x,y)?y?1x??N(x,y)?x.
因此这是一个恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到
(yxdx?lnxdy)?ydy?0,
3即
d(ylnx)?d14y?0.
4 所以方程的通解为
6
ylnx?14y?c.
43.3积分因子
如果存在连续可微的函数 u?u(x,y)?0, 使得
u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)?0
为一恰当微分方程,即存在函数v使
uMdx?uNdy?dv (15)
则称u(x,y)为方程(13)的积分因子.这时v(x,y)?c是(15)的通解,因而也就是(13)的通解.
3.4积分因子解法的应用
例5 (2xy4ey?2xy3?y)dx?(x2y4ey?x2y2?3x)dy?0. 解 M?2xy4ey?2xy3?y, N?x2y4ey?x2y2?3x,
?M?y?8xye?2xye?6xy?1.3y4y2?N?x?2xye?2xy?3.
4y2所以
?M?y??N?x??4y,?M
得到方程的积分因子为
41?dy?u(y)?ey?4.
y原方程可化为
(2xe?y2xy?1y)dx?(xe?32yxy22?3xy4)dy?0.
将原方程重新分项得
(2xedx?xedy)?(y2y2xydx?xy22dy)?(1y3dx?3xy4dy)?0,
7
即
d(xe?2yxy2?xy3)?0.
因此,方程的通解为
xe?2yxy2?xy3?c.
另外,y?0也是方程的解.
4 .一阶隐式微分方程与参数表示
一阶隐式微分方程的一般形式可表示为F(x,y,y?)?0.如果能从此方程中解出导数y?,其表达式为y??f(x,y),则可依f(x,y)的具体形状如何而选择前面所介绍的某一方法求解.但如果难以从方程中解出y?或即使解出y?,而其表达式相当复杂的情况下,则宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型,这正是本部分讨论的主要思想.这里主要介绍以下四种类型的求解方法:
(1) y?f(x,y?); (2) x?f(y,y?);
(3) F(x,y?)?0; (4) F(y,y?)?0.
4.1可解出y的方程 讨论形如
y?f(x,dydx) (16)
的方程的解法.这里假设函数有连续的偏导数.
引进参数
dydx?p,则(16)变为
y?f(x,p), (17)
将(17)两边对x求导数,并以
dydx?p代入,得到
p??f?x??fdp?pdx, (18)
方程(18)是关于x,p的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面的方法求出
8
它的解.
若已求得(18)的通解的形式为p??(x,c),将它代入(17)得y?f(x,?(x,c), 这就是(16)的通解.
若求得(18)的通解的形式为x???p,c?则得到(16)的参数形式的通解为
?x??(p,c)?y?f(?(p,c),p) 其中p是参数,c是任意常数.
若求得(18)的通解的形式为?(x,p,c)?0,则得到(16)的参数形式的通解为
???x,p,c???0?g?f(x,p)
其中p是参数,c为任意常数. 4.2可解出y的方程解法的应用
例6 y?xy?lnx?(xy?)2. 解 设
dydx?p,则原方程写为
y?xplnx?(xp)2 两边关于x求到导,得
p?dp2dpdxxlnx?plnx?p?2xp2?2xpdx,
化简到
(lnx?2xp)(xdpdx?p)?0,
由此得到
p?lnx?2x或xdpdx??p.
把p?lnx?2x代入(19),得原方程的一个特解
y??14(lnx)2.
由方程
9
(19)
xdpdx??p.
解得p?cx,代入(19),得到原方程的通解
y?clnx?c.
24.3不显含y的方程. 形如
F(x,y?)?0 (20)
的方程的解法.记p?y??dydx.从几何的观点看,F(x,p)?0代表oxp平面上的条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式
?dy?pdx.以(21)代入上式得
x??(t)p??(t) (21)
这里t为参数.再注意到,沿方程(20)的任何一条积分曲线上,恒满足基本关系式
dy??(t)??(t)dt,
两边积分,得到
y???(t)x??(t)dt?c,
于是得到方程(21)的参数形式的通解为
?其中c为任意常数.
例7 y?y?2ey?.
x??(t)y??(t)x??(t)dt?c,?
4.4不显含y的方程的解法的应用
解 令y??p,则原方程化为
y?pe.
2yp对x求导数,即得
10
p?2p?p2?epdpdx
积分之,即得
x??p?1?ep?c
所以,方程的通解为
x?(p?1)?e?cy?pe2pp
另外,y?0也是方程的解.
小结：
熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是必须做到的.然而我们所遇到的方程未必都恰好是本文所介绍过的几种类型,因此,还需要注意解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性.还有一点很重要,就是要善于根据方程的特点, 引进适当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解.
参考文献:
[1] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:北京科学出版社,1999. [2] 尤秉礼.常微分方程补充教程[M].北京:人民教育出版社,1981. [3] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985. [4] 许凇庆.常微分方程稳定性理论[M].上海:上海科技出版社,1964. [5] 周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2005.
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