电磁场理论习题集
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第1章
1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 1-2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即
?????(????E)???0 1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程
??J?????t
1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ?1和 ?2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是??1和 ?2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ?S???0，试证明：
tan?1tan?2??1?2
上式称为电场E的折射定律。
1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 ?1和 ?2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS???0，把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：
tan?1tan?2??1?2
上式称为磁场B的折射定律。若 ?1为铁磁媒质，?2为非铁磁媒质，即 ?1>>?2?，当 ?1??? 90??时，试问 ?2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。
1-6 已知电场强度矢量的表达式为
E???isin(? t???? z)＋j2cos(? t???? z) 通过微分形式的法拉第电磁感应定律??E??常数)。
1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数?? 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)???I0sin(?t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。
1-8 在空气中，交变电场E???jAsin(?t????z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。
?B?t，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分
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第2章
2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P(0,?0??h)?处有一点电荷q。试求：z???0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度??S和总电荷量q。
2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120?V，左板40?V，下板30?V，右板90?V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)?列出联立方程；(2)?用塞德尔迭代法求解；(3)?计算最佳加速因子 ?；(4)?用超松弛迭代法求解；(5)?比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n???4。
2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ?????0(1???4x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数??。选择基函数为
fn?(x)???x(1???xn) n???1,?2,?3,…
2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为
w1(x)??R?k1??2 和 w2(x)??R?k2??6x
上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数??。
2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为
?q,r?a??r2
E?er??qr,r?a??a试求球内外各点的点位。
2-6 已知空间电场强度E = 3ex + 4ey - 5ez，试求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。
2-7 设宽度为W，面密度为ρs的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。
2-8 若在一个电荷密度为ρ，半径为a的均匀带点球中，存在一个半径b的球形空腔，空腔中心与带点球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。
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第3章
3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的标量函数 ? 和矢量函数A都满足下面关系： (1) ????(??)???0?； (2) ????(????A)???0
3-2 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab?，求内外导体之间的漏电流密度J。
3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面r???a和r???b之间的电阻。
3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为????10?2?S/m。设有I???500?A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b???0.6?m，且人能经受的跨步电压为U???200?V，问这一安全半径a应为多大？
3-5 参看图2-5-6，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。
3-6 参看图3-2-1(a)，半径分别为a和b的两个同心球壳(a???b)之间是电导率为??????0(1?+?k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位???是否满足普拉斯方程。
3-7 若两个半径为a1及a2的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为ε及σ，两个球心间距为d，且d >> a1，d >>a2，试求两导体球之间的电阻。
3-8 当恒定电流通过无限大的非均匀导电煤质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为
?????E?????()???
???
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第4章
4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：
??(??A)???(??A)－?2A
4-2 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。
4-3 若在y = - a处放置一根无限长线电流ez I，在y = a处放置另一根无限长线电流ex I，如习题图4-3所示。试求坐标原点处的磁感应强度。
4-4 若无限长的半径为a的圆柱体电流密度分布函数为J?ez(r2?4r),r?a，试求圆柱体内外的磁感应强度。
4-5 证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。
4-6 证明矢量磁位A满足的方程式
2?A???0J的解为
z I y
-a O a x I 习题图4-3
A??04??J(r?)r?r?V?dV?
?1??在r′处的奇点特性） （提示：利用函数???r?r????2 4