从力做的功到向量的数量积(说课稿)
平面向量是新课程改革以后，高二数学的教学内容（必修4第二章）。下面我从教材分析设计、教学学法设计、教学过程设计三个方面对本节课进行说明。 一.教材分析.
(1)教材的地位及前后联系.
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。 (2) 教学教育目标
教学目标的分析与确定是教学设计的起点，它是教师对学生学习内容所达水平程度的期望，基于本节课的特点，我从以下三个方面设定了本节课的教学目标： 1.知识目标：（1）理解两个向量夹角的概念,夹角的范围,
(2)掌握平面向量数量积的含义及几何意义和物理意义。
（3）能用平面向量的数量积及性质、运算律处理有关长度、角度和垂直的问题。
2.能力目标：经过平面向量的数量积的概念的建构过程,观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
3.情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．
重点：：向量数量积的概念及其性质、运算律. 难点：理解平面向量的数量积的概念． 二、教法学法设计
在教学时，主要运用“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 由于新课程所倡导的学习是学生自主探究和建构知识的过程，所以，在学法上，我引导学生采用以“小组合作,自主探索”的自主学习模式.
三.教学过程设计.
本节课的教学过程就是以“四程序,八环节”,即“自学导练,解疑精讲,反馈形成,过关巩固”的教学模式来完成这节课.
(1) 自学导练.
1.先让学生看书,然后填空’.
(1) 已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则_________＝θ（０≤θ≤π） 叫a与b的夹角。 (2)两个向量的数量积的定义:
定义：两个向量a、b，它们的夹角为θ，则 ________叫做向量a与b的数量积
C （或内积）。记作_________，即a?b=__________，读作： a____b。 (3)投影的定义:
___________叫做向量b在a方向上的投影。 (4)数量积的几何意义:
数量积a?b等于a的长度______与b在a方向上投影_______的乘积,或b的长度______与
a在b方向上投影_______的乘积,
(5) 向量的数量积的物理意义:
力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移S的________. (6)数量积的性质:
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1．e?a?____?____ 2．a?b?_____ 3．a?_____ 4.cos??_____ 5. a?b____ab (7) 向量的数量积的运算律:
（1）交换律 a?b?_____ （2）结合律 ??a?b? ______=_______
??（3）分配律 a?b?c?________ 2.练习: 判断下列各题正确与否。
1． 若a =0，则对任一向量b，有a?b=0． 2． 若a≠0，则对任一非零向量b ,有a?b≠0． 3． 若a ≠0，a?b =0，则b=0. 4． 若a?b=0，则a,b中至少有一个为0．
5． 若a?b = a?c ,则b?c,当且仅当a=0 时成立．
设计意图:本节课是概念型的新授课,教学内容不仅多,而且抽象,这个环节可以节约大量的时间, 通过看书让学生梳理本节课的知识要点,从而培养学生的自学能力,理解能力.练习题可以检查学生自学的效果和帮助学生理解概念.
??（2）解疑精讲
问题1:能否将“做功”的公式中的力与位移推广到一般的向量？用文字语言该如何表述？
学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。
创设意图:让学生明白学习向量的数量积并不是突然的,它和向量的线性运算一样,也有其物理背景,物理中做功的数学本质就是力与位移的数量积。并且在物理中“功”的概念的背景下，融入建构数学模型的思想，类比的思想. 问题2: 数量积的大小由什么决定？
已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π） 叫a与b的夹角。
说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； （2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝
?时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）当θ为锐角，数量积大于零；当θ为钝角，数量积小于零；
（5）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
C
设计意图:通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，
而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。
问题3:如何作图说明b在a方向上的投影? 作图
定义：bcos?叫做向量b在a方向上的投影。
强调投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 b；当? = 180?时投影为 ?b。
设计意图:让学生从形的方面进一步理解投影的概念,也体现了数学中数形结合的重要数学思想,也加深了学生对向量数量积的几何意义的理解.
(4) 实数运算中有哪些乘法运算律？向量也满足这些运算律吗？
学生回答：（1）ab?ba （2）?ab?c?a?bc? （3）?a?b?c?ac?bc 类似地改写出相关的数量积的式子：
（1）a?b?b?a （2）a?b?c?a?b?c （3）a?b?c?a?c?b?c
让学生分组讨论上面运算律是否正确，学生通过向量数量积的定义及其几何意义肯定（1）、
(3)是对的，也不难发现（2）是不成立的，说明3个向量数量积的结合律是不成立的, 可由前面所学的向量的线性运算和向量数量积的定义,把（2）换成两个向量和一个实数的乘积是成立的. 设计意图:进一步理解向量的数量积的运算律,通过错误的运算律加深学生对结合律的理解,而用几何法对分配律的证明不仅让学生加深了对向量的数量积的几何意义的理解,还体现 了数形结合的重要思想。
??????例1. 已知向量a与b共线，且|a|?1，|b|?2，则a?b=_______ 。
例2．已知向量a与b的夹角θ= 1200，且a?b??4，|b|?2，则|a|=_______ 。 例3． 已知|a|?3,|b|?4,a与b的夹角θ= 600，求(a?2b)?(a?3b)。
本环节的创设意图:学生已经看书了解了基本的知识点,这个环节先通过对疑难的问题的探讨,再通过3个例题正用、逆用数量积的公式，加深了对本节课的理解。
(3) 反馈形成.
变式:
1.已知下列命题:?1?若k?R,且kb?0,则k?0或b?0.b满足a?2?若不平行的两个非零向量a,(3)若a与b平行,则a?b?ab.其中真命题的个数是 ( )?b,则a?b?a?b?0.
????A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知向量a与b的夹角θ= 1200，|a|?4，|b|?2，求 (1) a?b??2 (2) a?b (3) a?2b22???a?b? (4) 3a?4b
3. 已知向量a与b的夹角θ= 600，|a|?10，|b|?8，求a?b与a的夹角θ 的余弦值。
创设意图:前面3个例题是向量数量积的的简单的应用,这两个变式是例题的引申,是数量积的公式、性质、运算律的综合应用,让学生能举一反三，进一步巩固新知识，并且让学生分组讨论归纳总结方法,，比如直接利用数量积的定义求解时，一定要把这两个向量确定好；
计算向量的模可根据a?a求解；而利用向量的数量积定义式求两个向量的夹角时,必须把这两个向量的数量积及各自的模求出来，同时要注意向量夹角的范围是?0,??。
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