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7. 列方程解应用题
1、基本方法和技巧
弄清题意，找出未知数，并用X表示，（直接设元、简介设元、选择设元）；找出题中数量之间的相等关系。用不同的数量数字表达式表示同一数量，列出方程，解方程，检验，写出答语。
2、直接设元法（直接设求量为X）
例：明明今年11岁，爷爷今年74岁，再过多少年爷爷的年龄正好是明明的4倍？ 解：设再过X年，那时 明明应该是（11＋X）岁，爷爷应该是（74＋X）岁； 4（11＋X）＝74＋X X＝10
答：再过10年，爷爷的年龄正好是明明的4倍。
练：商店卖出24千克苹果和27千克梨，苹果总共比梨多卖了3.3元，已知苹果每千克2.5元，梨每千克多少元？
解：设梨的单价是X元 27X＋3.3＝2.5×24 X＝2.1
答：梨每千克2.1元。 3、间接设元法
例：某班以小组的少先队员搬砖修花坛，如果每人搬3块，还剩5块，如果每人搬4块，则最后一人就要少搬3块，问这批砖一共有多少块？
因为少先队员的人数与砖的块数密切相关，找到少先队员的人数，砖的块数就好求了。 解：设少先队员有X人， 3X＋5＝4X－3 X＝8
3×8＋5＝29块，4×8－3＝29块 答：这批砖一共29块。
练：小青的妈妈去买布，带的钱如果买3匹布，还剩1.8元，如果买5米这样的布，则差2.4元，小青的妈妈带了多少钱？
解：设每米布是X元
3X＋1.8＝5X－2.4 X＝2.1 2.1×5－2.4＝8.1元
答：小青的妈妈带了8.1元。 4、选择设元法
例：甲乙仓共存粮385吨，如果甲仓运走25吨，余下的吨数是乙仓存量的3倍，两仓个存量多少吨？ 关系：甲＋乙＝385；甲仓存粮＝乙仓存粮×3＋25；选择：乙仓存粮吨数（一倍粮） 解：设乙仓存粮X吨，则甲仓存粮为3X＋25或385－X 3X＋25＋X＝385或3X＋25＝385－X X＝ 90 385－90＝295吨
答：甲仓存粮295吨，乙仓存粮90吨。
练：甲乙两队各修完一段长392米的公路，已知甲队每天修的米数比乙队的2倍少8米，两队每天各修多少米？
解：设乙队而弥天修X米，则甲队每天修（2X－8）米， 2X－8＋X＝392÷8
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X＝19 19×2－8＝30米
答：甲每天修30米，乙每天修19米。
列方程解应用题的关键是准确地确定数量间的相等关系，一旦有些题目中等量关系不明显，课借助线段图对数量进行分析，帮助你正确地找到等量关系，列出方程。
例：东西两地相距5400米，甲乙两人从东地、丙从西地同时出发相向而行，甲每分走55米，乙每分走60米，丙每分走70米，多少分后乙正好走到甲乙两人间的中点？
根据题意和三人的速度作图，，从途中可知：甲走到A，乙走到B，丙走到C，依题意知：AB＝BC 解：设走了X分后乙走好走到甲丙两人间的中点。 因为AB＝（60－55）X??乙比甲多的米数 BC＝5400－70X－60X??未走的米数 所以：（60－55）X＝5400－70X－60X 5X＝5400－130X X＝40
答：在40分钟后正好走到甲乙两人间的中点。
练：A、B、C三地在一条直路上，A、B两地相距2千米，甲乙两人分别从A、B两地同时向C地走去，甲每分行35米，乙每分行45米，问：经过多少分后B地是甲乙两人距离间的中点？
结合题意观察此图可知：甲B＝B乙
解：设经过X分钟后B地是甲乙两人距离间的中点。 因为甲B＝2000－35X，B乙＝45X； 所以2000－35X＝45X X＝25
答：25分钟后B地是甲乙两人距离间的中点。
例：乙队少先队员去植树，如果每人植5棵，还剩14棵无人植；如果没每人植7棵。那么就少了4棵树苗，问：这对少先队员有多少人？准备的树苗有多少棵？
根据题意作出下图：
从图可知，两种方案的棵树差是（14＋4）棵，可用这个棵树差为等量关系。
解：这对少先队员有X人，则按第一种方案植，可植5X棵，按第二种方案植，可植7X棵； 7X－5X＝14＋4 X＝9 5×9＋14＝59棵
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或7×9－4＝54棵
答：这对少先队员有9人，准备的树苗有54棵。
练：某汽车运输队用若干辆同样的汽车运一批货，如果每辆车用3.5吨，则还剩2吨货未运；如果每辆车运4吨，那么最后一辆车还可以装1吨货，求这批货共多少吨？
解：设共有X辆车 4X－3.5X＝2＋1 X＝6
3.5×6＋2＝23吨或4×6－1＝23吨 答：这批货共23吨。
练习
1、五．一班同学合买一件礼物送给敬老院的老爷爷和老奶奶，如果每人出6元，则多了48元，如果每人出4.5元，则少了27元，求五一班共有多少名同学？
解：设一共有X名同学。 6X－48＝4.5X＋27 1.5X＝75 X＝50
答：一共有50名同学。
2、用汽枪打气球，打中一枪可得5分，如果没有打中，要倒扣2分，大伟打了20枪，共得51分，问：他有几枪没有打中？
解：设他有X枪没有打中 5×20－（5＋2）X＝51
7X＝100－51 X＝7 答：他有7枪没有打中。
3、有一群鹅，在河水中的只数是河岸上的3倍，如果有26只鹅从河水中走上河岸后，那么，河水中的只数正好与河岸上的只数相等，这群鹅有多少只？
解：河岸上原有X只鹅，则河水中有3X只鹅 3X－26＝X＋26 2X＝52 X＝26 26×3＋26＝104(只) 答：这群鹅一共104只。
4、有一批橘子装在一定个数的筐里，如果每筐装30千克，最后一筐只能装10千克，如果每筐装25千克，则剩下的正好还可以装一筐。问：这批橘子有多少千克？有多少个筐？
解：设有X个筐
30(X－1)＋10＝25(X＋1) 30X－20＝25X＋25 5X＝45 X＝9 X＝9
30×(9－1)＋10＝250(千克)或25×（9＋1）＝250千克 答：这批橘子有250千克，有9个筐。
5、甲乙二人同时沿同一路线骑车从A地到B地，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米，甲因为有事在途中停留了3小时，结果乙还比甲晚到B地1小时。求A\\B两地相距多少千米？
解：设甲从A到B共用时间为X小时。则乙用（X＋1）小时
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12（X－3）＝9(X＋1) 12X－9X＝36＋9 X＝15
(1＋15)×9＝144(千米)
或：（15－3）×12＝144（千米） 答：A、B两地相距144千米。
6、东西两镇相距60千米，甲骑车行完全程要4小时，乙行完全程要5小时，现在二人同时出发从东镇出发到西镇，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下的路程的4倍？
60÷4＝15千米 60÷5＝12千米 解：设经过时间为X，
（60－15X）×4＝60－12X 240－60＝60X－12X X＝3.75
答：经过3.75小时后，乙剩下的路程是甲剩下的路程的4倍。
7、图书馆书架分为上下两层，一共有书245本，上层每天借出15本，下层每天借出10本，3天后上下层剩下的书的本书相等。问：上下两层原来各有书多少本？
解：设上层原来有书X本，则下层有（245－X） X－15×3＝245－X－10×3 2X＝245＋45－30 X＝130
245－130＝115本
答：上层原来有书130本，下层原来有书115本。
8、五年级同学去公园划船，如果每条船坐8人，则有24人还留在岸上，如果每条船坐12人，就多了3条船，问：五年级共有多少人去划船？要租用多少条船？
解：设要租用X条船 12X－8X＝24＋12×3 4X＝60 X＝15
8×15＋24＝144人或12×15－12×3＝144（人） 答：共有144人，租用15条船。
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8. 不定方程
1、基本概念与方法
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程。如：5X＋4Y＝22，求它的整数解。这个方程中有两个未知数，这个方程叫不定方程。
有的应用题中含有两个或三个未知数，我们可以用字母表示数，按照题意列出不定方程。然后根据题中的限制条件，求出符合题意的整数解。一般方法是列出不定方程后化简。再直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
2、解不定方程
例：求5X＋4Y＝22中未知数的值。
因为5X＋4Y＝22，所以5 22，则X 4，那么X的取值范围在0——4。当X取0、1、2、3、4时，Y不是整数，所以X＝2。
把X＝2代入原方程得：5×2＋4Y＝22 Y＝3 3、应用题
例：某人在公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公司每月付给他工资470元，乙公司每月付给他工资350元。年终此人共得工资7620元，求他再甲乙两公司各打了几个月的工？
解：设这个人在甲公司打工X月，在乙公司打工Y个月。 470X＋350Y＝7620 原式＝47X＋35Y＝762
由题意可知，X、Y都不是大于12的自然数，根据化简后的方程可知，35Y的末尾数字一定是0或5，47X的末尾数字是2或7，由此推算，X只能是1、6或11.，又因为X是1或6时，Y都不是整数，符合题意的只能是X＝11，Y才是整数7。
答：他在甲公司打工11个月，乙公司打工7个月。
讲与练：小明用5天时间看完一本200页的故事书，已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的是第一 、二两天看的页数之和。第四天看的是第二、三天看的页数之和，第五天看的是第三、四两天看的页数之和，问：小明第五天至少看了多少页？
解：设小明第一天看了X页，第二天看了Y页，则钱5天分别看了X、Y、（X＋Y）、（X＋2Y）、（2X＋3Y）页。
X＋Y＋(X＋Y)＋(X＋2Y)＋(2X＋3Y)＝200 化简为：5X＋7Y＝200
因为书的页数是整数，5X和200都是5的倍数，则Y一定是5 的倍数。试算可知： X＝5, X＝12 Y＝25, Y＝20
将两组答案代入第5天，5×2＋25×3＝85（页）最多看的页数 12×2＋20×3＝84（页）最少看的页数 答：小明第五天至少看了84页。 例1．
求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝
X Y 1 5 2 × 23－3x
。可列表试验求解： 4
3 × 4 × 5 2 6 × 7 × 所以方程3x+4y＝23的自然数解为