6. 设随机变量X与Y独立，它们的概率密度分别为
1?2x，0?x?1；?2y，0?y?； fY(y)?? fX(x)???0， 其它.?0， 其它.求P(X?Y?1).（修改后的题）
解 因为X与Y独立，所以（X,Y）的密度函数为
?4xy，0?x?1,0?y?1； f(x,y)?fX(x)fY(y)???0， 其它.P(X?Y?1)?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?4xydy??2x(1?x)2dx?00011-x11 6
习 题3.4
?e?(x?y)，x?0,y?0；2． 设X与Y的联合密度为f(x,y)??， 求P(X?Y)及
?0， 其它.E(XY)．
解 （1）设D为{X?0,Y?0,X?Y}所围区域，则
P(X?Y)???eD?(x?y)1dxdy??edx?edy??e?2xdx??e?2x0x02???x???y????0?1． 2（2）E(XY)?????????????xyf(xy)dxdy????0??0???0xye?(x?y)dxdy
??0xe?xdx?ye?ydy?1．
?0,4． 设Y~E(1)且Xk???1,分布；（2）E(X1?X2)．
Y≤k；（1）X1与X2的联合概率(k?1,2)，求：
Y?k.?e?y, y…0?0,解 （1）Y~f(y)?? X1???1,?0, y?0.Y?1?0,，X2??Y?1?1,Y?2
Y?2.(X1,X2)有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有 P(X1?0,X2?0)?P(Y≤1,Y≤2)?P(Y≤1)??e?ydy?1?e?1，
01P(X1?0,X2?1)?P(Y≤1,Y?2)?0，
P(X1?1,X2?0)?P(Y?1,Y≤2)?P(1?Y≤2)??e?ydy?e?1?e?2，
12P(X1?1,X2?1)?P(Y?1,Y?2)?P(Y?2)??e?ydy?e?2．
2??X1与X2的联合概率分布为
X2 0 1 X1 0 1 1?e?1 0 e?1?e?2 e?2 1?0（2）X1?X2的概率分布为 (X1?X2)~??1e?1?e?2?1?e22?故 E(X1?X2)?0?(1?e?1)?1?(e?1?e?)?2?e??e?1e?．
2? ?2?e? 5． 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，求随机变量U?X?Y的方差．
解 方法1
(?,D)?2, x yX和Y的联合密度函数为 f(x,y) ??0, 其它 . ?2，
?????01?x3????111E(X2)???x2f(x,y)dxdy??2x2dx?dy?，
????01?x2121从而 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?．同理，E(Y)?,D(Y)?．
183181151E(XY)??2xdx?ydy?，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??，
01?x12361D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?．
18E(X)??????xf(x,y)dxdy??2xdx?dy?11方法2
E(X?Y)??4，
?????01?x3????111122E[(X?Y)]???(x?y)f(xy)dxdy??dx?2(x?y)2dy?，
????01?x61D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?．
18????(x?y)f(xy)dxdy??dx?2(x?y)dy?11习 题3.5
2． 在n次独立试验中，事件A在第i次试验中发生的概率为
证明：事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平pi(0?pi?1,i?1,2,L)，均值．
证明 设X表示在n次试验中事件A发生的次数，若引入随机变量
?1,Xi?????0,第i次试验中A发生;，i?1，2，L,n，则X??Xi．
i?1第i次试验中A不发生.1??，故 pi?n?0且Xi服从0—1分布，Xi~??1?piE(Xi)?pi,D(Xi)?pi(1?pi)?piqi．
由于 (pi?qi)2?(pi?qi)2?4piqi?1?4piq≥0，
≤故 D(Xi)?piqi1,?i1,L2,，即n,2，Ln,方差有公共的上界. Xii?1，4因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的??0，有
?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1， n??ni?1?ni?1??X1n?即 limP???pi????1．
n???nni?1?可见，事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值．
5． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．
解 设n为所求的箱数，且设Xi为第i箱的重量(i?1,2,L,n)． 由题意，知E(Xi)?50,D(Xi)?5．且将X1,X2,L,Xn视为独立同分布的随机变量．
又n箱的重量Yn??Xi，易算得E(Yn)?50n,D(Yn)?5n．
i?1n根据林德贝格—莱维中心极限定理，Yn近似服从正态分布N(50n,25n)．
依题意n需满足P{Yn≤5000}?0.977，即有
Y?50n5000?50nP{Yn≤5000}?P{n≤}
5n5n?1000?10n??????0.977??(2)
n??由此得1000?10n?2，即 10n?2n?10?00． 0n设n?x，则有10x2?2x?1000?0，解得x?9.9（舍去负的下界）． 因此，n?x2?98.01，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.977． 6． 已知相互独立的随机变量?1,?2,…,?50都服从泊松分布，记X???i，
i?150求P(X≥3)．
解 因为?1,?2,…,?50独立同分布，且E(?i)??,D(?i)??(i?1,2,?,50)． 根据林德贝格—莱维中心极限定理，X近似服从正态分布N(50?,50?)．
?X?50?3?50???3?50??P(X≥3)?P?≥?1?????．
50???50??50??7． 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X．（1）写出X的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．
解 设A?{抽查到被盗索赔户}，则p?P(A)?0.2．
) 依题意，X~b(n,p?b(100,，因此分布律为0
kP{X?k}?C100?0.2k?0.8100?k,(k?0,1,?,100)．
（2）E(X)?np?20,D(X)?np(1?p)?16，根据棣莫佛—拉普拉斯定理，
P{14≤X≤30}?P{14?0.5≤X≤30?0.5}
13.5?20X?2030.5?20X?20?P{≤≤}?P{?1.625≤≤2.625}
4444??(2.625)?[1??(1.625)]?0.9957?1?0.9479?0.9436．
8． 在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?
解 设X1,X2,L,Xn表示n次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数， 则 X1?X2?L?Xn~b(n,0.75)． 且在n次试验中事件成功发生的频率X?X1?X2?L?Xn满足
n1p(1?p)0.1875E(X)?p?0.75,D(X)?2np(1?p)??．
nnn利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，知P{0.74?X?0.76}?P{X?p?0.01}
X?p~N(0,1)，所以
p(1?p)n??X?p?P????p(1?p)n?0.01??
p(1?p)n???n??X?p??P???
1875???p(1?p)n??n??2???1875???1．
??故要“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90， 即
??n?n?P{0.74?X?0.76}≥0.90，只需2???1875???1≥0.90，???1875??≥0.95，
????查表知?(1.645)?0.95，因此只需n≥1.645，或n≥5074． 18759． 设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦)．因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转．问配电室至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作．
解 设X表示150台机床中同时运转的机床台数，则X~b(150,0.6)．