2011年综合型大学自主招生选拔联合考试（北约）试题解析
物 理
第一题 （14分)
平直铁轨上停着一节质量M?2m的小车厢，可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N名组员沿着铁轨方向列队前行，另有1名组长在最后，每名组员的质量同为m。 ⑴ 当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v0跑步，每各组员在接近车厢时又以2v0速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改为而恰好未追上车，试求N。
v0，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个2水平跳下，组员离开车瞬间相对车厢速度大小同为u，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？
⑵ 组员们上车后，组长前进速度减为
第二题( 12分)
两质量为m的小球，放在劲度系数为k，原长为L的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为?。
（1）在两球间万有引力作用下，弹簧最大压缩量。 （2）若体系整体绕中心?角度旋转，要求弹簧保持原长，?应为多大？
第三题（ 16分）
设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R0 （1）试求地球同步卫星P的轨道半径Rp
（2）赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。
（2.1）设P的运动方向突然偏北转过45?，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到P掠过城市上空。
（2.2）取消（2.1）问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105?，再分析地判定而经当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。
（3）另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会，可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ
第四题 （14分）
电场强度为E的足够大的匀强电场中，有一条与电场线平行的直线，如图中虚线所示，
直线上有两个静止的小球A或B，质量均为m，A球带电荷量+Q，B球不带电。开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正碰，碰撞中A、B两球的总动能无损失，设在每次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，问：A、B两球发生第8次碰撞到发生第9次碰撞之间的时间间隔。
E m+Q m
A B L
第五题（16分）
如果质量相同的小球A、B在沿一条直线的运动过程中发生弹性正碰撞，则A的碰后速度等于B的碰前速度，B的碰后速度等于A的碰前速度。如图所示，光滑水平绝缘大桌
??面取为O?xy坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B。
⑴ O?xy平面上的小球A，质量为m，电量为q?0，初速度方向如图所示，大小为v0，而后A将作匀速圆周运动，试求圆半径R和运动周期T。
⑵ 图中小球A1、A2质量同为m，电量也同为q，开始时分别位于y轴上的y1、y2（y2?y1）位置，初速度方向如图所示，大小也同为v0。设A1、A2间可能发生的碰撞都是弹性正碰而且不会相互转移电荷（下同）。要求A1能到达y2处，试求y2?y1的所有可能取值。 ⑶ 图中小球B的质量也为m，电量也为q，t?0时位于x轴上距O稍远的x1位置，初速度方向沿x轴，大小也为v0。现给你一个质量为m，电量为?q，初速度大小为v0的小球1??但要求在t??K??T时刻(K?N)，t?0时B*的初始位置和初始速度方向由你选定，B*。
2??B球可达到x轴上与x1相距尽可能远的x2（x2?x1）位置，
最后给出你所得的x2?x1的值。
附注：解题时略去球之间的电作用力。
第六题 16分
两根长为L，质量为m，电阻为R，棒平行桌缘放置，桌子的侧面有一根相同的棒，用两根无电阻的光滑导线将上面的棒系在一起，空间中有匀强磁场B，方向与桌缘垂面，与水平夹角为?。开始时刻将两棒静止释放。 ⑴ 问理论上棒的最大速度vmax。
⑵ 当v?vmax时，求机械能损耗功率P1与电功率P2
第七题 （12分）
如图所示，置于空气中的等腰直角三棱镜ABC的斜面BC长4l，其中BD段长l，棱镜材料折射率为n。
⑴ 如图中实线所示，从D点正入射的细光束在直角面AB、AC外侧均无透射光，试求n的取值范围。 ⑵ 取n为⑴问所得最小值，略去入射光在镜内经过三次或三次以上的反射光线如图中虚线所示，对于从斜上方30?入射到D点的细光束，试问在直角面AB外侧和在直角面AC外侧是否有透射光？ 如图中虚线和在直角面AC外侧是否有透射光？
答案：
一、[解析]
⑴ 设组员全部上车后，车的速度为v
由动量守恒：
2Nmv0??M?Nm?v
2Nm2Nv0?v0
M?Nm2?N队长恰好未能追上车，必有v?v0，即得N?2 ?v?
⑵ 设第一名组员离开后车速度v1，第二名组员离开后车速度v2 由动量守恒：
u?M?2m?v0??M?m?v1?m?v1?u??4v0?4v1?u?v1?v0?
4u?M?m?v1?Mv2?m?v2?u??3v1?3v2?u?v2?v1?
3可使组长也能追上车，要求
11u76?11?v2?v0?v0?v2?v1??v0????u?v0?u?u?v0
223127?34?61为了计算临界情况，取v2?v0，u?v0，得
72u1123v1?u0??v0，v1?u?v0
41414u119v2?v1??v0，v2?u?v0
32145121112222 ?mv0E内?Mv2?m??v1?u???v2?u????M?2m?v0??98222
二、[解析]
（1）设小球半径为r 43?r?V?m 3设平衡位置相对原长移动?l 则由?F?0：
Gm2?l?k??0 2?l?2r??l?由于?l?l万有引力很弱。
Gm2∴?l≈2
lk压缩到最大程度共缩2?l。
2Gm2 2?l?2
lk（2）由?F?ma；弹簧弹力为0
Gm2Gm2L??m??(?r)? 解得： 324(L?2r)2(L?2r)
三、解析：⑴由牛顿第二定律
m?2Rp?GMm 2Rp
由定义
2GM?gR0，??2π T解得
gR02T2RP?
4?2（2.1）取地心不动的惯性参照系。卫星运动方向偏北转过45?，P点就的大圆轨道绕圆心运动，A城P边赤道沿大圆，绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆近日方向相遇。再经过半天，各自又转过半个大圆，近日方向相遇。故当地居民一天能有两次机会可看到P掠过城市上空。
（2.2）分析同（2.1），只是每经过半天，各转过半个大圆，经过半天相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会看到P略过城市上空。 （3）由题意得
36??B转过大圆B转过大圆??36??44B城Q星：天? 天?
1344?Q转过大圆?Q转过大圆???4?4129??B转过大圆B转过大圆?912???44 天?天?4344?Q转过大圆?Q转过大圆???4?4故Q的角速度?Q为B（地球）的（自转）角速度?B的三分之一，即有
3?Q??B3?TQ(周期)?3TB?3T 同第（1）问，得：
2π TQGM?gRe2，?Q?2m?QRQ?GMm 2RQ22e213
?9gRT?解得：RQ?? ?
?4π?
四、[解析] 画出两球的v-t图，发现每两次碰撞之间需要时间相同
Eq A球加速度 a?
m2Eql第一次碰撞前相对速度v0?2al? m两次碰撞过程中相对速度从?v0变化到v0
所以两次碰撞之间需要时间t?
2v02Eql2lm??2 amEq
五、解析：⑴ R?T?mv qB2πm qB⑵ 参见题解图1，可得 y2?y1?2R或4R
⑶ 参见题解图2，t?0时刻将B*放在（x?x1，y?2R）位置，初速度方向沿x轴，得x2?x1?2?2K?1?R
六、解析：
①由于v到最大，棒的加速为0。由牛顿第二定律 F安?mg?0 F安?BIl?Bcos?Il?BsinIl 2R解得 I?
? ，???Blvmsin??Blvmcos?
2Rmgvm?B2l2?cos??sin??2?2Rmg
B2l2?1?sin2??②速度为v时
B2l2vF安??1?sin2??
2R除非保守力做功功率等于机械能损耗功率 P 1?F安?v B2l2v2??1?sin2??
2R电路功率
P2?I???I2R ?B2l2v2?1?sin2??2R
七、解析：
⑴ nsin45?≥1?n≥2
⑵ 镜内射面镜面时发生全反射现象的入射角?0?45? ?1?参考题解图，有sin30??nsin?1?2sin?1??1?arcsin??
22???1?90????180??45???90???1????45???1??0?45?
取直面面AB外侧透射光，有?2?90????180?90???90???1????90???1?45???1??0 故直面边AC外侧有透射光。