因此σ的特征向量都是τ的特征向量
例5 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵。证明：AB的特征多项式fAB???与BA的特征多项式
fBA???有如下关系
?nfAB?????mfBA???
证明1：(1)当m=n时，由例2的证明2，显然有 ?nfAB?????mfBA??? （2）当m≠n时，不妨设m＞n，作
?B? A1?(A,0m?(m?n)),B1???，于是A1,B1为m阶方阵，由（1）知道，
0?(m?n)?m? ︱?Em-A1B1︱=︱?Em-B1A1︱
?BA0? 但A1B1=AB，而B1A1=??
?00? 所以︱?Em-AB︱=︱?En-BA︱︱?Em?n︱=?m?n︱?En-BA︱ 于是?n︱?Em-AB︱=?m︱?En-BA︱，即?nfAB?????mfBA???。 证明2:把结论等价改为AB与BA有相同的非零特征值。
（定义法）设λ是AB的一个非零特征值，X是对应于λ的一个特征向量 则(AB)X=λX。显然BX≠0。否则，若(AB)X=0，即λX=0 于是λ=0或X=0，矛盾。所以，BA(BX)??(BX)
即λ为BA的特征值。
同理可证BA的非零特征值是AB的特征值。
例6 复数域上n×n上矩阵A，B，C，若AB-BA=C，并且C可以与A和B交换，证明：C的特征值全为0。
证明：设A，B，C分别是复数域上n维向量空间V的线性变形σ，τ，δ关于基?1，…，?2，
?n的矩阵，则由AB-BA=C知στ-τσ=δ，并且由C与A，B交换知δ与σ，τ可换。
设λ是C的任一特征值，则λ也是δ的特征值。令V?是δ的属于特征值λ的特征子空间，则V?是δ的不变子空间。由于σδ=δσ，τδ=δτ，故不难验证V?也是σ和τ的不变子空间。记
?1??︱V?,?1??︱V?,?1??︱V?。
显然?1?1??1?1??1，因V?≠﹛0﹜，故可在V?中取基：…，则?1关于基?1,?2，…，?1,?2，?r。
?r的矩阵为?Er。记
?1,?1关于基：?1,?2，…，?r的的矩阵分别为A1,B1，则有?1?1??1?1??1有 A1B1?B1A1??Er 。因为Tr(A1B1)?Tr(B1A1)，所以 Tr(A1B1?B1A1)?0，而Tr(?Er)=rλ。 于是rλ=0，从而λ=0。因此C的特征值全为0。