梯度
gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。 《现代汉语词典》附：新词新义 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 散度
散度（divergence）的概念：
在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F
气象学：
散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分：
设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。 散度（divergence）的运算法则：
div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数) div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)
旋度
设有向量场
A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为
δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy
的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A或curl A ，即 rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。 行列式记号
旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Ax·i+Ay·j，
则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k
则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k
为一向量。
向量场A，数量场u
▽称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。▽·▽=▽2=△，△称为拉普拉斯算子。 梯度▽u 散度▽·A 旋度▽×A
首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。
梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。
散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。
旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。 三者的关系：注意各自针对的对象不同。 1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。 2.梯度的散度▽2u=△u 3.散度的梯度▽(▽·A)
4.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。
5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A 旋度场的旋度
也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。
1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。反之则不行，还需要其他条件。
2.已知某向量场，求原数量场（势场）。 某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。
因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。若旋度不为0，则没有势场。