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方程y???py??qy?e?x(Acos?x?Bsin?x)的一个特解公式
邢进喜
黑龙江农业经济职业学院基础部，黑龙江，牡丹江，157041
摘要 本文给出了方程y???py??qy?e(Acos?x?Bsin?x)的一个特解公式，并举例说明了该公式在求某些微分方程特解时的方便快捷之功效。
关键词 微分方程 特解公式
对于微分方程
y???py??qy?e?x?x(Acos?x?Bsin?x)， （1）
2其中p,q,A,B,?,?均为常数，且??0，记
???2?p??q??，??(2??p)?， （2）
2则有
引理 ???i是方程（1）的特征根?????0?p??2?且q??证
???i是方程（1）的特征根
?(???i)?p(???i)?q?0 ?(?22??.
2?p??q??)?[(2??p)?]i?0
22?????0 ?2??p?0且??p??q??22?0
?p??2?且q????.
2定理 方程（1）在???i不是其特征根时有一特解为
y*?e?x?A??B??B??A???cos?x?sin?x222?2?， （3） ??????????BA???cos?x?sin?x??. （4） 2?2???在???i是其特征根时有一特解为
y*?xe?x 公式（3）与（4）可运用我们熟知的待定系数法并结合引理推得，也可将（3）（4）式
直接代入方程（1）并利用引理验证其正确性.
例1 求微分方程y???5y??6y?e解 运用公式（3），
222x(4cos3x?7sin3x)的一个特解.
??2?5?2?6?3?11，??(2?2?5)?3?27， y*?e2x7?11?4?27?4?11?7?27?cos3x?sin3x?? 222211?27?11?27?2937??cos3x?sin3x?. ??170?170?3x?e2x例2 求微分方程y???6y??25y?e解 因为 所以由公式（4）得
y*?xe3x(5cos4x?8sin4x)的一个特解.
2?2???2?3??6?p，???2?3?422?25?q，
85???cos4x?sin4x??xe?2?4?2?4?3x5???cos4x?sin4x?. ?8??下面针对方程（1）的两种常见特殊情形给出定理的两个推论.
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在定理中令??0，B?0，可得
推论1 方程y???py??qy?Acos?x在??i不是其特征根时有一特解为
??y*?A??2????2cos?x?????22?2sin?x???q??（其中，??p?）， （5） ??2在??i是其特征根时（此时p?0，q??）有一特解为
y*?A2?xsin?x. （6）
特别地，当??1时，公式（5）（6）分别变为
??q?1p?， （5/） y*?A?cosx?sinx2222??(q?1)?p?(q?1)?p?2例3 求微分方程y???5y??6y?4cos3x的一个特解.
y*?Axsinx. （6）
/
解 运用公式（5），
??6?3??3，??5?3?15，
??3y*?4?2?(?3)?1522cos3x?15(?3)?1522?210sin3x???cos3x?sin3x.
3939?例4 求微分方程y???36y?5cos6x的一个特解. 解 显然?6i是特征根，故由公式（6）得
2?612与推论1类似，在定理中令??0，A?0，可得
推论2 方程y???py??qy?Bsin?x在??i不是其特征根时有一特解为
y*?5xsin6x?5xsin6x.
???y*?B??2????2cos?x?????22?2sin?x???q??（其中，??p?）， （7） ??B2?在??i是其特征根时有一特解为
y*??xcos?x. （8）
特别地，当??1时，公式（7）（8）分别变为
???pq?1/
y*?B?cosx?sinx， （7） ?2222(q?1)?p?(q?1)?p?y*??B2xcosx. （8）
/
例5 求微分方程y???6y??4y?7sinx的一个特解.
解 显然?i不是特征根，故由公式（7/）得
3147??6?y*?7?2cosx?sinx??cosx?sinx. ?22215153?6?3?6?例6 求微分方程y???y?8sinx的一个特解.
解 显然?i是特征根，故由公式（8/）得
y*??4xcosx.
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