一、整除理论
1．
证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9．
设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1是素数。 设3?a2 ? b2，证明：3?a且3?b。
证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。 [a,b,c]2(a,b,c)2?设a，b，c是正整数，证明：
[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)设k是正奇数，证明：1 ? 2 ? …… ? 9?1k ? 2k ? …… ? 9k。 设a，b是正整数，证明：(a ? b)[a, b] = a[b, a ? b]。
用扩展欧几里德算法法求整数x，y，使得1387x ? 162y = (1387, 162)。
若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少。
10． 11． 12． 13． 14． 15．
证明：在1, 2, ?, 2n中任取n ? 1数，其中至少有一个能被另一个整除。 求最大的正整数k，使得10k?199!。 设n是正整数，则[n?n?1]?[4n?2]。 n?2r?1]= n。 设n是正整数，x是实数，证明：?[r2r?1?证明：若2n ? 1是素数，则n是素数。
证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。
二、同余
1． 求81234被13除的余数。
2． 已知99?62??427，求?与? 3． 求n =77的个位数
4． 证明：若n是正整数，则13?42n + 1 ? 3 n + 2
5． 设m > 0是偶数，{a1, a2, …, am}与{b1, b2, …, bm}都是模m的完全剩余系，证明：{a1 ? b1, a2 ? b2, …, am
? bm}不是模m的完全剩余系
6． 证明：若2p ? 1是奇素数，则(p!)2 ? (?1)p ? 0 (mod 2p ? 1)
7． 证明Wilson定理的逆定理：若n > 1，并且(n ? 1)! ? ?1 (mod n)，则n是素数
?(m)78． 设m > 1，(a, m) = 1，x1, x2,…, x?(m)是模m的简化剩余系，证明：
?{mi}?2?(m)。其中{x}表示x的
i?1ax1小数部分。
9． 设m与n是正整数，证明：?(mn)?((m, n)) = (m, n)?(m)?(n) 10． 设{x1, x2,…, x?(m)}是模m的简化剩余系，则(x1x2…x?(m))2 ? 1 (mod m) 11． 证明：1978103 ? 19783能被103整除。 12． 设p，q是两个不同的素数，证明：pq ? 1 ? qp ? 1 ? 1 (mod pq)。 13． 计算12996227(mod 37909)
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三、同余方程
1． 解同余方程 325x ? 20 (mod 161)
2． 证明：同余方程a1x1 ? a2x2 ? … ? anxn ? b (mod m)有解的充要条件是(a1, a2, …, an, m) = d?b。若有解，
则恰有d?mn ?1个解，mod m
3． 解同余方程f(x) = 3x2 ? 4x ? 15 ? 0 (mod 75) 4． 4x20 ? 3x12 ? 2x7 ? 3x ? 2 ? 0 (mod 5)
5． 判定 2x3 ? x2 ? 3x ? 1 ? 0 (mod 5)是否有三个解 6． 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余 7． 设p是奇素数，证明：模p
p?1的所有二次剩余的乘积与(?1)2对模p同余
8． 设p是奇素数，证明：模p的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一
个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。 9． 设p，q是两个不同的奇素数，且p = q ? 4a，证明：(10．
a)?(a) pq|b，b < 4ac，求(a，b，c是正整数，(a, b) = 1，2?a)与(a)的关系 4ac?bb四、原根与指标
1． 求模14的全部原根
2． 设m > 1，模m有原根，d是?(m)的任一个正因数，证明：在模m的简化剩余系中，恰有?(d)个指数为d
的整数，并由此推出模m的简化剩余系中恰有?(?(m))个原根
3． 设p = 2n ? 1是一个奇素数，证明：模p的全部二次非剩余就是模p的全部原根 4． 设m ? 3, g1、g2都是模m的原根, 则g = g1g2不是模m的原根
|n时，有1n ? 2n ? … ? (p ? 1)n ? 0 (mod p) 5． 设p是奇素数，证明：当且仅当p ? 1?6． 求8次同余方程x8 ? 23 (mod 41)
五、代数系统
1． 设a,b是群G的两个元，证明：ab与ba有相同的阶。 2． 证明：循环群G=的任一子群也是循环群。
3． 设a是群G的n阶元素，证明as的阶为n/(s,n)，as与a(s,n)同阶。 4． 设G是p阶群，p为素数，证明任意a?G，若a?e，则G= 5． 描述整环R扩展到其商域的方法。
6． 设环R，证明R有左零因子，则存在R中非零元x，使得x既是左零因子，又是右零因子。 7． 求Z2上的不可约多项式f(x)，使得GF(8)是f(x)在Z2上的分裂域。 8． K/F是正规扩域，K?E?F，则K/E也是正规扩域。 9． 有限域F=GF(pn)的乘法群(F*=F\\{0}, ×)是pn -1阶循环群。
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