浅谈初中数学几何中的“一题多解”
摘要 数学充满着浓厚的趣味性和挑战性，数学教学应体现其科学性，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味。问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽量体现发散思维，让学生真正在几何数学 的思维上有所提高。
关键字 多样化学习 不同层次练习 一题多解 发散思维
曾在初中三年级的“添加辅助线”教学过程中，根据学生的实际情况，课前要求每位学生收集3—5题有关三角形添加辅助线的典型练习，汇集到各组小组长处，各组组长组织小组成员互相讨论选择出3题具有代表性的题目上报到老师处，老师适当选择几个有层次性的展示出来作为课外作业，小组根据课外作业讨论寻找不同辅助线的添加方法，以达到“一题多解”，再通过课堂组织学生共同探讨何种 “辅助线”的添加方法最有效。这样，让学生来选教材，根据学生的需要来选教材，有利于调动学生课外学习数学的积极性与主动性。更增加了学生的数学交流，其中学生敏捷的思路很令我折服。
《添加有效辅助线》的整堂练习课我采用“小组竞赛”的形式展开，让学生来当老师，让学生来当评委，对同班同学的思路、证明过程进行合理的评价并交流自己的心得体会。
例1 ：如图，在四边形ABCD中，∠A=60ο,∠B=90ο,∠D=90ο
ABBC=2,CD=3,求AB的长度? 学生A（小组代表）：
1
DC解：延长AB，CD交F ∵∠A=60ο ∠D=90ο（已知）
ABFCD ∴∠F=30ο（三角形三个内角之和为180度）
∵∠B=90ο BC=2（已知）
∴ CF=2BC=4（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半）
AF=2AD（同上） 又∵CD=3
∴DF=CD+CF=7 BF=
23814723AD= AB=AF-BF= - = 333333学生B（小组代表）： 解：延长AD，BC交F ∵∠A=60ο ∠B=90ο（已知）
ABCDF ∴∠F=30ο（三角形三个内角之和为180度） ∵∠D=90ο CD=3（已知）
∴ CF=2CD=6（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半）
AF=2AB（同上） 又∵BC=2
∴ BF=BC+CF=8 AB=
833学生C（小组代表）：
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥BE
∵ BE⊥AD，CF⊥BE ∠D=90DC=3（已知）
2
ο
AFEDBC ∴ EF=DC=3 在△BCF中
∵ ∠BCF=30ο∠BFC=90ο BC=2（已知）
∴ BF=1（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半） BE=EF+BF=4 在△ABE中
∵ ∠A=60ο ∠AEB=90ο（已知）
∴AB=2AE=
半）
833（直角三角形中30的角所对的直角边是斜边的一
ο
学生D（小组代表）：
解：作∠C的平分线交AD于E，过点B作AD的垂线
∵ CE平分∠BCD BF⊥AD ∠A=60ο BC=2（已知）
∴∠BCE=60ο ∠ABF= 30ο ∠CBO=∠B-∠ABF=60ο
△ BCO是等边三角形 OB=OC=BC=2 又∵∠DEC=30ο DC=3
∴ EC=6 （直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一半） OE=CE-OC=4 OF=2（同上） BF=4 AF= ∴AB=2AF=
一半）
83433ο
ABEFDOC3（直角三角形中30的角所对的直角边是斜边的
3
例2：如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求
证：CD=AB+BD 学生A（小组代表）：
BACD证明：在DC上取点E，使的BD=DE，并连接AE ∵ AD⊥BC DB=DE（已知）
∴ AB=AE；∠B=∠AEB（线段中垂线的性质定理）
∵∠B=2∠C；∠AEB=∠C+∠CAE=∠B
A∴∠C=∠CAE（等量代换）
AE=CE；CD=CE+DE=AE+DB=AB+BD
即CD= AB+BD 学生B（小组代表）：
证明：作AC的中垂线交BC于E，并连接AE ∵ EF⊥AC AF=CF（已知）
ABFECBDEC∴ CE=AE
∠C=∠CAE（线段中垂线的性质定理） ∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C=∠B ∴AB=AE（等角对等边） 又∵ AD⊥BC
D∴ BD=DE（线段中垂线的逆定理） CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD
即CD= AB+BD 学生C（小组代表）：
4
证明：延长DB到E，使得AB=BE，并连接AE ∵AB=BE（已知）
ABC∴ ∠E=∠BAE（等边对等角）
ED∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E（一个外角等于与它不相邻的两个内
角和）
又∵∠ABC=2∠C（已知）
∴∠C=∠E（等量代换）
AC=AE（等角对等边） 又∵AD⊥BC
∴DC=DE（线段中垂线的逆定理）
即CD= AB+BD
本堂课的教材内容是学生自主选择、自主确定的缘故，课堂气氛空前高涨，几位代表同学的思维都很敏捷，介绍方法很有条理，学生学的效果很好。看来，教学应该是以学生的动机和需要为中心展开的。教学并非是忠实地执行官方课程文本的过程，而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程，而实际上更应该是开发、创生课程的过程。只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。学生从两个角度考虑：（1）割补法，将长的线段分割成两段，其中一段通过作辅助线与求解的一段相等，再求解另一段与剩下一段的关系即可。（2）“化曲为直法”，延长其中的一条线段，再求解。
……
数学课堂应该是充满生命活力的，充满着浓厚的趣味性和挑战
5
性，数学课堂更应该体现数学的学科味，注重学生在每个45分钟内有效地锻炼数学思维的过程。
数学学习过程中，学生的个体差异表现在认知方式与思维策略的不同，以及认知水平与学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足学生的多样化学习需求，让学生们根据自己的实际感受不同层次的学科味。教学过程中鼓励提倡学生独立思考，以求解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中表现出来的不同水平，不同层次。问题情境的设计、教学过程的展开，练习的安排等要尽可能地让所有的学生主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富解决问题的经验，提高思维水平。
教师的数学教学应该建立在学生自身经验、兴趣与动机的基础上，而不是老师以为地讲，学生一味地模仿、接受，我们要让学生们自己来发现问题、认识问题、探索并有效地解决问题，并为他们提供互相交流的平台，让他们在“做中学，学中做”的过程中不断成长。让我们教师换一种姿态来与我们的学生交流，用一种全新的授课方式走进我们的数学课堂，让我们的学生正真体会到数学味！
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