系统动力学第三次实验报告
陈岳军 201204020402
一、前轮转向车辆的操纵性能计算机模型
首先以两个典型的前轮转向车辆为例（图18-9），在两自由度单轨操纵模型基础上，介绍在MATLAB环境下的操纵动力学建模、仿真和性能对比分析；然后，仍基于两自由度单轨操纵模型，介绍一个四轮转向系统控制器设计器的例子。
需要注意的是，仿真参数的选择中应使车辆车辆的侧向加速度保持在0.4g的线性域内。 根据第十四章中的内容，前轮转向车辆的线性单轨模型系统的运动方程为：
??ucr)??m(v???Ir(C?f?C?r)ucv?v?(aC?f?bC?r)ucucr?C?f?f （18-12）
(aC?f?bC?r)uc(a2C?f?b2C?r)r?aC?f?f式中，m为车辆的质量；v为车辆侧向加速度；r为横摆角速度；uc为恒定的车辆前进速度；
Cαf、Cαr分别前后轮胎侧偏刚度。
若取系统状态变量为：X?(v,t)T,系统输入U为前轮转向角δf，则式（18-12）表达的系统运动微分方程可写成如下标准状态空间方程的形式：
??AX?BUXY?CX?DU其中，
C?f?C?r(aC?f?bC?r)?????u?c?mumucc?;A???(aC?bC)a2C?f?b2C?r??f?r??????IucIuc???C?f???m B?? ?;C??01?;D?0。?aC?f????I?二、仿真结果对比分析
根据表18-4该处的两辆不同车型（法拉利运动型跑车和别克1949轿车）的参数，可对其操作稳定性进行仿真分析，仿真分析的内容包括：
1）时域分析：分析角阶跃输入下横摆角速度的时域响应r-t。
2）频域分析：分析不同频率正弦波输入下横摆角速度的频域响应。 3）稳定性分析：作出跟轨迹图，分析不同车速下系统特征值的变化。 1.时域分析
首先，在MATLAB中，建立前轮转角输入信号时间序列。需要注意的是，这里给定的系统输入U为转向盘转角输入?s而非前轮转角?t。仿真中假设车辆行驶速度和转向系统转
动比都为恒定，分别为40m/s和45。当车辆以恒定速度直线行驶时，驾驶员突然给转向盘一个很小的角阶跃输入，即：
?15? ?s???0t?0 (18-13) t?0则根据转向系传动比is?45，得出相应的前轮转角输入为：
??s??0.058rad? ?t??is180?0?t?0t?0 （18-14）
在MATLAB发展中，根据已给的状态方程矩阵A、B、C、D和系统输入U（即前轮转角?f）的时间序列信号，应用线性模拟函数语句，即lsim(A,B,C,D,delta,t)(delta变量存储的是车轮转角信号序列)，就可方便地对两种车型进行角阶跃输入仿真，得到的横摆
角速度时域响应结果如图18-10所示。
由图18-10可知，在同样的转向盘转角输入下，法拉利跑车的瞬态响应比别克轿车的要好，主要体现在较短的稳定时间、较小的超调量以及更好的阻尼特性等。 2.频域分析
一个线性系统传递函数G（s）的幅频和相频特性可用伯德（Bode）图来表达。在MATLAB环境下，可直接采用bode（）命令，便可得到伯德图，即：
sys?ss(A,B,C,D)
bode (sys)两种车型的系统幅频响应如图18-11a所示，由图可知，在同一行驶车速下，法拉利跑车的响应带宽大于别克轿车的响应带宽，从而也说明前者具有更好的频率响应带宽，从而也说明前者具有更好地频率响应特性。图18-11b为相频响应对比曲线，从图中也可以看出，法拉利跑车的系统响应滞后要比别克车的响应滞后少，系统延迟较小。
3.稳定性分析
通常，随着车身的提高，车辆行驶稳定性下降。对具有过多转向特性的车辆而言，当车速超过其极限车速时，系统将处于不稳定工况，即意味着在很小的干扰输入时，系统将产生很大的响应输出（如高速转向时车辆可能发生侧滑）。而车辆行驶的稳定性与其等效线性系统的特征值有关密切的联系。
在MATLAB环境中有多种方法可以求解系统的特征根（即极点），其中最直接的方法可以用eig ()命令来求一个矩阵的特征值。由控制理论可知，一个可能、可控的线性系统
G(s)?C(sI?A)?1B的极点就是状态矩阵A的特征值，因此，若求解车辆在不同车速u。
(15~601m/s范围内)的特征根，同时在同一复平面中昨图，可采用MATLAB程序段：
U?15:5:60;forj?1:length(U)A?[?(Cf?Cr)/M/U(j)?(a*Cf?b*Cr)/M/U(j)?U(j) ?(a*Cf?b*Cr)/(Iz*U(j))?(a^2*Cf?b^2*Cr)/(Iz*U(j))];
plot(real(eig(A)),imag(eig(A)),'bx');holdon;end其中，命令语句real()和imag()分别用于系统特征值的实部和虚步求解。
这里，以不同车速下的根轨迹图来比较两种车型的系统稳定性，可得出与时域和频域响应分析相同的结果，其跟轨迹如图18-12所示。从图中可以看出，随着车速的增加，系统的特征值由复平面的左侧不断向虚部靠近，因此系统越来越倾向于不稳定。对两种车型的比较可见，它们的特征根随车速变化而变化的趋势也不同，由于法拉利跑车有相对较大的稳定裕度，因而其特征根位置与别克轿车相比更远离虚轴，而别克轿车的转向特性的稳定裕度较小且容易失稳。
三、一个四轮转向系统设计的例子
对式（18-12）表示的前轮转向车辆的计算机模型而言，若通过增加一后轮转向角δr 输入来提高车辆的操纵动力学特性，则系统状态方程可写为：
?Caf?Car??????muc?v?????r??bCar?aCaf????Izzuc?bCar?aCaf???Caf?uc??v??muc?m??22?????Carb??C?r??aCafafa??I???zzuIzzc?Car???m????f????bCar???r??Izz??
有关四轮转向控制方法已在第十六章第二节中进行了介绍。这里以一个简单的四轮转向控制
算法为例，通过与前轮转向（FWS）车辆的对比，说明四轮转向（4WS）系统对车辆侧向动力学性能的影响。
若采用前后转向比ξ为定值的控制方式，即将控制目标设为使车辆转向时其质心侧偏角β=0，可导出稳态条件下车辆质心侧偏角β=0时前后轮转向比ξ应满足的条件。由于β=vuc，因而令式（18-15）中v=0，并消去含有r的项，就得到稳态条件下车辆质心侧偏
角β=0时ξ应满足的条件：
????rf??2ma?b???uc??a?b???Car????2mba???uc?a?b????Caf?
上式表明，高速时后轮应与前轮同相转向；而低速时后轮应与前轮反相转向。
这里，以表18-4中给出的法拉利车型参数为例，讨论4WS系统对车辆操纵特性的影响。当对后轮转角施加了由式（18-16）所示的控制输入（即侧向加速度
?r???f）后，其横摆角速度r与
ay的频域响应与FWS系统的响应结果对比如图18-13所示。
由图18-13a、图18-13b可见，相对于FWS系统，4WS系统具有更低的横摆角速度增益，其相位变化与前轮转向相同；而对于侧向加速度，图18-13c、图18-13d表明：在低频段内（<2Hz），4WS系统的增益较FWS系统更低，而在高频段则相反；其相位变化则明显要小于前轮转向的相位变化。
图18-14给出了4WS系统与FWS系统的横摆角速度和侧向加速度相频的比较。由图可明显的看出，4WS具有更小的相位差，表明了系统的滞后有所改善。 由此可见，车辆横摆角速度决定了转向时车辆姿态变化响应的时间；而侧向加速度表示了转向时车辆速度、侧向速度的变化，这两者的相位差越小（即两者变化协调的越好），则车辆的路径跟踪能力与侧向稳定性就越好。