数列难题突破之裂项与放缩 裂项与放缩是高考数列题常用技巧 主要有以下3类应用 1．裂项法求和
2．裂项、放缩证明求和不等式 3．放缩证明连乘不等式
裂项法求和
一个最简单的裂项求和的例子 11?2?1112?3?3?4???n?(n?1)
【例1】
已知等差数列{a1n} 满足：a3?7,a5?a7?26.设bn?a2(n?N*),求bn的前 n项和Tn. n?1
【例2】
设数列{an}为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的n?N*，有 111na????. 1a2a2a3anan?1a1an?1
裂项法求和小结回顾： 111?2?2?3???1n?(n?1) 11?3?13?5???1(2n?1)?(2n?1) 1a?1???1 1a2a2a3anan?1
裂项、放缩法证明求和不等式
【例3】 证明：
12?1n?1?11122?32???n2?1
1
【例4】
已知数列{an}与{bn}满足bnan?an?1?bn?1an?2且a1?2,a2?4，设Sn??a2k,求证：?k?1n3?(?1)n?0; bn?,n?N*,
2Sk7?. 6k?1ak4n
和式不等式小结回顾： 放缩去“凑”裂项形式 111????★ a1a2a2a3anan?1
连乘不等式的证明
【例5】
132n?1?求证：????242n
【例6】
等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知对任意的n?N*，点(n,Sn)均在函数y?bx?r （b?0 且b?1, b,r 均为常数）的图像上. (II)当b?2 时，记bn?2(log2an?1)(n?N*). 求证：
b?1b1?1b2?1????n?n?1 (n?N*) b1b2bn12n?1
总结： 1．裂项求和：?1111??(?) ★ akak?1dakak?12．求和不等式：放缩?可裂项
3．连乘不等式：
·配上“错一位”的连乘式?可消去 ·选择“错位”方向
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课后作业
【习题1】求和
【习题2】求证:
【习题3】求证：
111???? 1?44?797?10011111. ??????1?22221.52.53.5(n?0.5)n2583n?13??????3n?1. 1473n?2分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”
的连乘式.
答 案
【习题1】 解：
111????1?44?797?100111111111?(?)?(?)???(?) 3143473971001133?(1?)?3100100【习题2】
分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩证：
11?. 2(k?0.5)k(k?1)1111?????1.522.523.52(n?0.5)21111?????? 1?22?33?4n(n?1)1?1?n
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【习题3】 解：设A?2583n?13693n47103n?1?????，B??????，C??????，则1473n?22583n?13693nA?B?C?3n?1，由A,B,C?0知，只需证A?B,A?C就有A?33n?1成立。只需要证明对任意k?1,2,3,?n，连乘式A中的第k项大于B和C的第k项，只需要证:
3k?13k3k?1111????此不等式的每项减去1，即，显然成立，
3k?23k?13k3k?23k?13k故原不等式成立。
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